Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{\left( m+1 \right)\sqrt{-2x+3}-1}{\sqrt{-2x+3}+\dfrac{2}{m}}(m\ne 0$ và là tham số thực). Tập hợp $m$ để hàm...

Phương pháp:
- Đặt $t=\sqrt{-2x+3}\ge 0,$ tìm khoảng giá trị của $t.$
- Đưa bài toán trở thành: Tập hợp $m$ để hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{\left( m+1 \right)t-1}{-t+\dfrac{2}{m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ có dạng $S=\left( -\infty ;a \right)\cup \left( b;c \right]\cup \left[ d;+\infty \right),$ với $a,b,c,d$ là các số thực. Tính $P=a-b+c-d.$
- Hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{\left( m+1 \right)t-1}{-t+\dfrac{2}{m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( t \right)>0\forall t\in \left( a;b \right) \\
& \dfrac{2}{m}\notin \left( a;b \right) \\
\end{aligned} \right. $ với $ \left( a;b \right) $ là khoảng giá trị của $ t.$
Cách giải:
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{aligned}
& -2x+3\ge 0\Leftrightarrow x\le \dfrac{3}{2} \\
& \sqrt{-2x+3}\ne \dfrac{2}{m} \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t=\sqrt{-2x+3}\ge 0,$ ta có $t'=\dfrac{-2}{2\sqrt{-2x+3}}=\dfrac{-1}{\sqrt{-2x+3}}<0\forall x\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right).$
Ta có: $t\left( -\dfrac{1}{2} \right)=2,t\left( 1 \right)=1,$ do đó với $x\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right)$ thì $t\in \left( 1;2 \right).$
Yêu cầu bài toán trở thành: Tập hợp $m$ để hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{\left( m+1 \right)t-1}{-t+\dfrac{2}{m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ có dạng $S=\left( -\infty ;a \right)\cup \left( b;c \right]\cup \left[ d;+\infty \right),$ với $a,b,c,d$ là các số thực. Tính $P=a-b+c-d.$
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{2}{m}\left( m\ne 0 \right) \right\}.$ Ta có: $f'\left( t \right)=\dfrac{\dfrac{2}{m}\left( m+1 \right)-1}{{{\left( -t+\dfrac{2}{m} \right)}^{2}}}.$
Để hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{\left( m+1 \right)t-1}{-t+\dfrac{2}{m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;4 \right)$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( t \right)>0\forall t\in \left( 1;2 \right) \\
& \dfrac{2}{m}\notin \left( 1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{2}{m}\left( m+1 \right)-1>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{2}{m}\le 1 \\
& \dfrac{2}{m}\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{m+2}{m}>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{2-m}{m}\le 0 \\
& \dfrac{2-2m}{m}\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m<-2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m<0 \\
& 0<m\le 1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( 0;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$
$\Rightarrow a=-2,b=0,c=1,d=2.$
Vậy $P=a-b+x-d=-2+0-1=-3.$