Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{9}^{x}}}{{{9}^{x}}+3}.$ Tìm...

Cách giải:
Xét $f\left( a \right)+f\left( 1-a \right)=\dfrac{{{9}^{a}}}{{{9}^{a}}+3}+\dfrac{{{9}^{1-a}}}{{{9}^{1-a}}+3}=\dfrac{{{9}^{a}}}{{{9}^{a}}+3}+\dfrac{9}{{{9}^{a}}\left( \dfrac{9}{{{9}^{a}}}+3 \right)}=\dfrac{{{9}^{a}}}{{{9}^{a}}+3}+\dfrac{3}{3+{{9}^{a}}}=1.$
Nên $f\left( 3m+\dfrac{1}{4}\sin x \right)+f\left( {{\cos }^{2}}x \right)=1\Rightarrow 3m+\dfrac{1}{4}\sin x+{{\cos }^{2}}x=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-\dfrac{1}{4}\sin x=3m.$
Đặt $t=\sin x\Rightarrow t'=\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi $
Bảng biến thiên của $t=\sin x$ trên $\left[ 0;3\pi \right]$ như sau:

Dựa vào BBT ta thấy mỗi nghiệm t cho tối đa 4 nghiệm $x\in \left[ 0;3\pi \right].$
Do đó để phương trình $3m+\dfrac{1}{4}\sin x+{{\cos }^{2}}x=1$ có 8 nghiệm thỏa mãn điều kiện thì phương trình ${{t}^{2}}-\dfrac{1}{4}t=3m$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[ 0;1 \right).$
Đặt $f\left( t \right)={{t}^{2}}-\dfrac{1}{4}t\Rightarrow f\left( t \right)=2t-\dfrac{1}{4}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{8}.$
Bảng biến thiên hàm số $f\left( t \right):$

Phương trình ${{t}^{2}}-\dfrac{1}{4}t=3m$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ 0;1 \right]$ khi và chỉ khi
$-\dfrac{1}{64}<3m\le 0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{192}<m\le 0.$