Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2x-m}{x+2}$ ( $m$ là tham số). Để $\underset{x\in \left[ -1; 1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x...

Phương pháp:
- Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.
- Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đạt GTNN trên các đoạn mà hàm số xác định tại các điểm đầu mút.
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\Rightarrow$ Hàm số xác định trên $\left[ -1;1 \right].$
Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{2x-m}{x+2}\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{4+m}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}.$
TH1: Nếu $m>-4\Rightarrow f'\left( x \right)>0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số đồng biến trên $\left[ -1;1 \right].$
$\Rightarrow \underset{x\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -1 \right)=\dfrac{-2-m}{1}$
Theo bài ra ta có: $\dfrac{-2-m}{1}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow m=-\dfrac{7}{3}\left( tm \right).$
$\Rightarrow a=-7,b=3$ nên $a+b=-7+3=-4.$
TH2: Nếu $m<-4\Rightarrow f'\left( x \right)<0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số nghịch biến trên $\left[ -1;1 \right].$
$\Rightarrow \underset{x\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{2-m}{3}$
Theo bài ra ta có: $\dfrac{2-m}{3}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow m=1\left( ktm \right).$
TH3: Nếu $m=-4\Rightarrow f'\left( x \right)=0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số là hàm hằng $\left[ -1;1 \right].$
$\Rightarrow \underset{x\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( x \right)=\dfrac{2x+4}{x+2}=2\Rightarrow a=-4,b=1\Rightarrow a+b=-3.$
Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án D đúng.