Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2}{\sin x}.$ Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0.$ Giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)={{e}^{F\left( x \right)}}$ trên đoạn $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right]$ bằng
A. 3.
B. $\dfrac{1}{3}.$
C. $7-4\sqrt{3}.$
D. $7+4\sqrt{3}.$
A. 3.
B. $\dfrac{1}{3}.$
C. $7-4\sqrt{3}.$
D. $7+4\sqrt{3}.$
Cách 1:
Ta có: $F\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{2dx}{\sin x}}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{2dx}{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{dx}{{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}.\tan \dfrac{x}{2}}}=2\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{d\left( \tan \dfrac{x}{2} \right)}{\tan \dfrac{x}{2}}}=2\ln \left| \tan \dfrac{x}{2} \right|+C.$
$\Rightarrow F\left( x \right)=2\ln \left| \tan \dfrac{x}{2} \right|+C.$
Mà $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0\Leftrightarrow 2\ln \left| \tan \dfrac{\pi }{4} \right|+C=0\Rightarrow C=0\Rightarrow F\left( x \right)=2\ln \left| \tan \dfrac{x}{2} \right|=\ln {{\left( \tan \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}.$
$\Rightarrow g\left( x \right)={{e}^{F\left( x \right)}}={{\tan }^{2}}\dfrac{x}{2}\Rightarrow g'\left( x \right)=\tan \dfrac{x}{2}.\left( 1+{{\tan }^{2}}\dfrac{x}{2} \right)>0,\forall x\in \left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right].$
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right]$ nên $\underset{\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)={{\left( \tan \dfrac{\pi }{3} \right)}^{2}}=3.$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right]$ bằng 3.
Cách 2:
Ta có $g'\left( x \right)=F'\left( x \right).{{e}^{F\left( x \right)}}=\dfrac{2}{\sin x}.{{e}^{F\left( x \right)}}>0,\forall x\in \left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right].$
$\Rightarrow \underset{\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)={{e}^{F\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)}}={{e}^{F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)+\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{2\pi }{3}}{\dfrac{2dx}{\sin x}}}}=3.$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right]$ bằng 3.
Ta có: $F\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{2dx}{\sin x}}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{2dx}{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{dx}{{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}.\tan \dfrac{x}{2}}}=2\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{d\left( \tan \dfrac{x}{2} \right)}{\tan \dfrac{x}{2}}}=2\ln \left| \tan \dfrac{x}{2} \right|+C.$
$\Rightarrow F\left( x \right)=2\ln \left| \tan \dfrac{x}{2} \right|+C.$
Mà $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0\Leftrightarrow 2\ln \left| \tan \dfrac{\pi }{4} \right|+C=0\Rightarrow C=0\Rightarrow F\left( x \right)=2\ln \left| \tan \dfrac{x}{2} \right|=\ln {{\left( \tan \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}.$
$\Rightarrow g\left( x \right)={{e}^{F\left( x \right)}}={{\tan }^{2}}\dfrac{x}{2}\Rightarrow g'\left( x \right)=\tan \dfrac{x}{2}.\left( 1+{{\tan }^{2}}\dfrac{x}{2} \right)>0,\forall x\in \left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right].$
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right]$ nên $\underset{\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)={{\left( \tan \dfrac{\pi }{3} \right)}^{2}}=3.$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right]$ bằng 3.
Cách 2:
Ta có $g'\left( x \right)=F'\left( x \right).{{e}^{F\left( x \right)}}=\dfrac{2}{\sin x}.{{e}^{F\left( x \right)}}>0,\forall x\in \left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right].$
$\Rightarrow \underset{\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)={{e}^{F\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)}}={{e}^{F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)+\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{2\pi }{3}}{\dfrac{2dx}{\sin x}}}}=3.$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{2\pi }{3} \right]$ bằng 3.
Đáp án A.