Cho hàm số $f (x) = \frac{2}{\sin x} .$ Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ thỏa mãn $F\left(...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = \frac{2}{\sin x} .

Biết

F (x)

là một nguyên hàm của hàm số

f (x)

thỏa mãn

F (\frac{π}{2}) = 0.

Giá trị lớn nhất của hàm số

g (x) = e^{F (x)}

trên đoạn

[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]

bằng
A. 3.
B.

\frac{1}{3} .

C.

7 - 4 \sqrt{3} .

D.

7 + 4 \sqrt{3} .

Cách 1:
Ta có:

F (x) = \int_{}^{} \frac{2 d x}{\sin x} = \int_{}^{} \frac{2 d x}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \int_{}^{} \frac{d x}{\cos^{2} \frac{x}{2} . \tan \frac{x}{2}} = 2 \int_{}^{} \frac{d (\tan \frac{x}{2})}{\tan \frac{x}{2}} = 2 \ln | \tan \frac{x}{2} | + C .

\Rightarrow F (x) = 2 \ln | \tan \frac{x}{2} | + C .

Mà

F (\frac{π}{2}) = 0 \Leftrightarrow 2 \ln | \tan \frac{π}{4} | + C = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F (x) = 2 \ln | \tan \frac{x}{2} | = \ln {(\tan \frac{x}{2})}^{2} .

\Rightarrow g (x) = e^{F (x)} = \tan^{2} \frac{x}{2} \Rightarrow g^{'} (x) = \tan \frac{x}{2} . (1 + \tan^{2} \frac{x}{2}) > 0, \forall x \in [\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}] .

Do đó hàm số

g (x)

đồng biến trên

[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]

nên

max_{[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]} g (x) = g (\frac{2 π}{3}) = {(\tan \frac{π}{3})}^{2} = 3.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số

g (x)

trên đoạn

[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]

bằng 3.
Cách 2:
Ta có

g^{'} (x) = F^{'} (x) . e^{F (x)} = \frac{2}{\sin x} . e^{F (x)} > 0, \forall x \in [\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}] .

\Rightarrow max_{[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]} g (x) = g (\frac{2 π}{3}) = e^{F (\frac{2 π}{3})} = e^{F (\frac{π}{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{2 d x}{\sin x}} = 3.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số

g (x)

trên đoạn

[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]

bằng 3.

Đáp án A.

Cho hàm số f(x)=2sin⁡x. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn $F\left(...