Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2}{5}{{m}^{2}}{{x}^{5}}-\dfrac{8}{3}m{{x}^{3}}-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)x+1.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên...

Phương pháp:
- Tính $f'\left( x \right).$
- Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $f'\left( x \right)\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\left( * \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Đặt ${{x}^{2}}=t\ge 0.$ Đưa $\left( * \right)$ về dạng $a{{t}^{2}}+bt+c\ge 0\forall t\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& \Delta '\le 0 \\
\end{aligned} \right..$
Cách giải:
Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{2}{5}{{m}^{2}}{{x}^{5}}-\dfrac{8}{3}m{{x}^{3}}-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)x+1$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=2{{m}^{2}}{{x}^{4}}-8m{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)$
Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $f'\left( x \right)=2{{m}^{2}}{{x}^{4}}-8m{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\left( * \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
Đặt ${{x}^{2}}=t\ge 0.$ Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}{{t}^{2}}-8mt-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)\ge 0\forall t\in \mathbb{R}.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{m}^{2}}>0 \\
& \Delta '=16{{m}^{2}}+2{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -3\le m\le 4. $Vậy có 8 giá trị nguyên của $ m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.