Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\cos 2x$. Bất phương trình ${{f}^{(2019)}}\left( x \right)>m$ đúng với mọi $x\in \left( \dfrac{\pi }{12};\dfrac{3\pi }{8} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<{{2}^{2018}}$
B. $m\le {{2}^{2018}}$
C. $m\le {{2}^{2019}}$
D. $m<{{2}^{2019}}$
A. $m<{{2}^{2018}}$
B. $m\le {{2}^{2018}}$
C. $m\le {{2}^{2019}}$
D. $m<{{2}^{2019}}$
Lời giải
Xét hàm số $f\left( x \right)=\cos 2x,$ TXĐ: R .
Ta có $f\prime \left( x \right)=-2\sin 2x,f\prime \prime \left( x \right)=-{{2}^{2}}\cos 2x,f\prime \prime \prime \left( x \right)={{2}^{3}}\sin 2x,{{f}^{(4)}}\left( x \right)={{2}^{4}}\cos 2x.$
Suy ra ${{f}^{(2016)}}\left( x \right)={{2}^{2016}}\cos 2x\Rightarrow {{f}^{(2017)}}\left( x \right)=-{{2}^{2017}}\sin 2x$
$\Rightarrow {{f}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)=-{{2}^{2018}}\cos 2x$
$\Rightarrow {{f}^{\left( 2019 \right)}}\left( x \right)={{2}^{2019}}\sin 2x$
Vì $x\in \left( \dfrac{\pi }{12};\dfrac{3\pi }{8} \right)$ nên $\dfrac{1}{2}<\sin 2x<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ hay ${{f}^{\left( 2019 \right)}}x>{{2}^{2018}},\forall x\in \left( \dfrac{\pi }{12};\dfrac{3\pi }{8} \right)$
Vậy ${{f}^{\left( 2019 \right)}}\left( x \right)>m$ đúng với mọi $x\in \left( \dfrac{\pi }{12};\dfrac{3\pi }{8} \right)$ khi và chỉ khi $m\le {{2}^{2018}}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\cos 2x,$ TXĐ: R .
Ta có $f\prime \left( x \right)=-2\sin 2x,f\prime \prime \left( x \right)=-{{2}^{2}}\cos 2x,f\prime \prime \prime \left( x \right)={{2}^{3}}\sin 2x,{{f}^{(4)}}\left( x \right)={{2}^{4}}\cos 2x.$
Suy ra ${{f}^{(2016)}}\left( x \right)={{2}^{2016}}\cos 2x\Rightarrow {{f}^{(2017)}}\left( x \right)=-{{2}^{2017}}\sin 2x$
$\Rightarrow {{f}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)=-{{2}^{2018}}\cos 2x$
$\Rightarrow {{f}^{\left( 2019 \right)}}\left( x \right)={{2}^{2019}}\sin 2x$
Vì $x\in \left( \dfrac{\pi }{12};\dfrac{3\pi }{8} \right)$ nên $\dfrac{1}{2}<\sin 2x<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ hay ${{f}^{\left( 2019 \right)}}x>{{2}^{2018}},\forall x\in \left( \dfrac{\pi }{12};\dfrac{3\pi }{8} \right)$
Vậy ${{f}^{\left( 2019 \right)}}\left( x \right)>m$ đúng với mọi $x\in \left( \dfrac{\pi }{12};\dfrac{3\pi }{8} \right)$ khi và chỉ khi $m\le {{2}^{2018}}$.
Đáp án B.