Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=2$ và $f'\left( x \right)=x\sin x.$ Giả sử rằng $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( x \right)dx}=\dfrac{a}{b}-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{c}$ (với $a,b,c$ là các số nguyên dương, $\dfrac{a}{b}$ tối giản). Khi đó $a+b+c$ bằng:
A. 23
B. 5
C. 20
D. 27
A. 23
B. 5
C. 20
D. 27
Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right) \\
& dv=\cos xdx \\
\end{aligned} \right., $ thay $ f'\left( x \right)=x\sin x.$
- Sử dụng công thức hạ bậc ${{\sin }^{2}}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}.$
- Tiếp tục sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\cos 2xdx \\
\end{aligned} \right..$
- Đồng nhất hệ số tìm $a,b,c$ và tính tổng $a+b+c.$
Cách giải:
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right) \\
& dv=\cos xdx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=f'\left( x \right)dx=x\sin xdx \\
& v=\sin x \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có:
$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( x \right)dx}$
$=\sin x.f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{2} \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x{{\sin }^{2}}xdx}$
$=\sin \dfrac{\pi }{2}.f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\dfrac{1-\cos 2x}{2}dx}$
$=1-\dfrac{1}{2}\left( \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{xdx}-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\cos 2xdx} \right)$
$=2-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{2} \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-I \right)$
$=1-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{{{\pi }^{2}}}{8}-I \right)$
$=2-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{16}+\dfrac{I}{2}$
Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\cos 2xdx}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\cos 2xdx \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=\dfrac{\sin 2x}{2} \\
\end{aligned} \right.,$ khi đó ta có:
$I=x.\dfrac{\sin 2x}{2}\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{2} \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\sin 2xdx}$
$I=\dfrac{\pi }{2}.\dfrac{\sin \pi }{2}-0+\dfrac{1}{2}.\dfrac{\cos 2x}{2}\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{2} \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.$
$I=\dfrac{1}{4}\left( \cos \pi -\cos 0 \right)$
$I=\dfrac{1}{4}\left( -1-1 \right)=-\dfrac{1}{2}$
Do đó $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( x \right)dx}=2-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{16}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{4}-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{16}.$
$\Rightarrow a=7,b=4,c=16.$
Vậy $a+b+c=7+4+16=27.$
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right) \\
& dv=\cos xdx \\
\end{aligned} \right., $ thay $ f'\left( x \right)=x\sin x.$
- Sử dụng công thức hạ bậc ${{\sin }^{2}}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}.$
- Tiếp tục sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\cos 2xdx \\
\end{aligned} \right..$
- Đồng nhất hệ số tìm $a,b,c$ và tính tổng $a+b+c.$
Cách giải:
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right) \\
& dv=\cos xdx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=f'\left( x \right)dx=x\sin xdx \\
& v=\sin x \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có:
$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( x \right)dx}$
$=\sin x.f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{2} \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x{{\sin }^{2}}xdx}$
$=\sin \dfrac{\pi }{2}.f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\dfrac{1-\cos 2x}{2}dx}$
$=1-\dfrac{1}{2}\left( \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{xdx}-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\cos 2xdx} \right)$
$=2-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{2} \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-I \right)$
$=1-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{{{\pi }^{2}}}{8}-I \right)$
$=2-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{16}+\dfrac{I}{2}$
Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\cos 2xdx}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\cos 2xdx \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=\dfrac{\sin 2x}{2} \\
\end{aligned} \right.,$ khi đó ta có:
$I=x.\dfrac{\sin 2x}{2}\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{2} \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\sin 2xdx}$
$I=\dfrac{\pi }{2}.\dfrac{\sin \pi }{2}-0+\dfrac{1}{2}.\dfrac{\cos 2x}{2}\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{2} \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.$
$I=\dfrac{1}{4}\left( \cos \pi -\cos 0 \right)$
$I=\dfrac{1}{4}\left( -1-1 \right)=-\dfrac{1}{2}$
Do đó $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( x \right)dx}=2-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{16}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{4}-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{16}.$
$\Rightarrow a=7,b=4,c=16.$
Vậy $a+b+c=7+4+16=27.$
Đáp án D.