The Collectors

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm và đồng biến trên...

Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm và đồng biến trên $\left[ 1;4 \right],$ thoả mãn $x+2xf\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}$ với mọi $x\in \left[ 1;4 \right].$ Biết rằng $f\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2},$ tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)}dx$
A. $I=\dfrac{9}{2}.$
B. $I=\dfrac{1187}{45}.$
C. $I=\dfrac{1188}{45}.$
D. $I=\dfrac{1186}{45}.$
Ta có: $x+2xf\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow x\left( 1+2f\left( x \right) \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}\sqrt{1+2f\left( x \right)}=f'\left( x \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right)}{\sqrt{1+2f\left( x \right)}}=\sqrt{x} \\
& \Leftrightarrow \left( \sqrt{1+2f\left( x \right)} \right)'=\sqrt{x} \\
& \Leftrightarrow \int{{{\left( \sqrt{1+2f\left( x \right)} \right)}^{\prime }}}dx=\int{\sqrt{x}dx} \\
& \Leftrightarrow \sqrt{1+2f\left( x \right)}=\dfrac{2}{3}{{x}^{\dfrac{3}{2}}}+C. \\
\end{aligned}$
Thay $f\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2}\Rightarrow C=\dfrac{4}{3}.$
Suy ra $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{2}{3}{{x}^{\dfrac{3}{2}}}+\dfrac{4}{3} \right)}^{2}}-1\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)}dx=\dfrac{1186}{45}.$
Đáp án D.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top