Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $-3;2$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left[ -10;10 \right]$ để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2x-m \right)$ đồng biến trên $\left( -1;1 \right)$.
A. $12$.
B. $14$.
C. $11$.
D. $13$.
B. $14$.
C. $11$.
D. $13$.
Từ bảng biến thiên kết hợp với đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $-3;2$ ta có:
Ta có $y'=\left( 2x+2 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x-m \right)$.
Để hàm số đồng biến trên $\left( -1;1 \right)$ thì
$\begin{aligned}
& \left( 2x+2 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x-m \right)\ge 0,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
& \Leftrightarrow f'\left( {{x}^{2}}+2x-m \right)\ge 0,\forall x\in \left( -1;1 \right); \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+2x-m\ge 2,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
& {{x}^{2}}+2x-m\le -3,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m+2\le {{x}^{2}}+2x,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
& m-3\ge {{x}^{2}}+2x,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Ta có $g\left( x \right)={{x}^{2}}+2x,x\in \left( -1;1 \right);g'\left( x \right)=2x+2=0\Leftrightarrow x=-1$, suy ra:
Suy ra $\left[ \begin{aligned}
& m+2\le -1 \\
& m-3\ge 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -3 \\
& m\ge 6 \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{m\in \left[ -10;10 \right]}\left[ \begin{aligned}
& m\in \left\{ -10;-9;...;-3 \right\} \\
& m\in \left\{ 6;7;8;9;10 \right\} \\
\end{aligned} \right.$. Chọn D
Để hàm số đồng biến trên $\left( -1;1 \right)$ thì
$\begin{aligned}
& \left( 2x+2 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x-m \right)\ge 0,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
& \Leftrightarrow f'\left( {{x}^{2}}+2x-m \right)\ge 0,\forall x\in \left( -1;1 \right); \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+2x-m\ge 2,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
& {{x}^{2}}+2x-m\le -3,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m+2\le {{x}^{2}}+2x,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
& m-3\ge {{x}^{2}}+2x,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Ta có $g\left( x \right)={{x}^{2}}+2x,x\in \left( -1;1 \right);g'\left( x \right)=2x+2=0\Leftrightarrow x=-1$, suy ra:
& m+2\le -1 \\
& m-3\ge 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -3 \\
& m\ge 6 \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{m\in \left[ -10;10 \right]}\left[ \begin{aligned}
& m\in \left\{ -10;-9;...;-3 \right\} \\
& m\in \left\{ 6;7;8;9;10 \right\} \\
\end{aligned} \right.$. Chọn D
Đáp án D.