Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left(x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm $f'\left(x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $g\left(x \right)=\dfrac{1}{2}f\left(1-x \right)+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left(-3; 1 \right).$
B. $\left(-2; 0 \right).$
C. $\left(1; 3 \right).$
D. $\left(-1;\dfrac{3}{2} \right).$
A. $\left(-3; 1 \right).$
B. $\left(-2; 0 \right).$
C. $\left(1; 3 \right).$
D. $\left(-1;\dfrac{3}{2} \right).$
Với $t=1-x,$ ta có hàm số $y=f\left(t \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Có: $y=g\left(x \right)=f\left(1-x \right)+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x$
$y'\left(x \right)=-f'\left(1-x \right)+x-1=-f'\left(t \right)-t$
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi:
$-f'\left(t \right)-t<0\Leftrightarrow f'\left(t \right)>-t$
Dựa vào đồ thị hàm số xác định được
$f'\left(t \right)>-t\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t<-3 \\
& 1<t<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1-x<-3 \\
& 1<1-x<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>4 \\
& -2<x<0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy chỉ có đáp án B thỏa mãn.
Có: $y=g\left(x \right)=f\left(1-x \right)+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x$
$y'\left(x \right)=-f'\left(1-x \right)+x-1=-f'\left(t \right)-t$
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi:
$-f'\left(t \right)-t<0\Leftrightarrow f'\left(t \right)>-t$
Dựa vào đồ thị hàm số xác định được
$f'\left(t \right)>-t\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t<-3 \\
& 1<t<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1-x<-3 \\
& 1<1-x<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>4 \\
& -2<x<0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy chỉ có đáp án B thỏa mãn.
Đáp án B.