Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+3 \right).$ Có bao nhiêu giá trị...

$f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.$
$g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=\left( 2x+3 \right)f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)$
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$
$\Leftrightarrow g'\left( x \right)=\left( 2x+3 \right).f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
$\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+3x-m-1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x-m+3 \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)\text{ }\left( 1 \right)$
Đặt $t={{x}^{2}}+3x$
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{2}}+3x,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
$h'\left( x \right)=2x+3>0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$ nên hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;2 \right).$
Do $x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow t\in \left( 0;10 \right)$
$\left( 1 \right)\Rightarrow \left( t-m-1 \right)\left( t-m+3 \right)\ge 0,\forall t\in \left( 0;10 \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 10\le m-3 \\
& 0\ge m+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 13 \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $m$ là số nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;20 \right]$ nên có 18 giá trị của $m$ thỏa điều kiện đề bài.