Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+3 \right).$ Có bao nhiêu giá trị...

Phương pháp:
- Đặt $y=g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+3x-m \right),$ tính $g'\left( x \right).$
- Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ thì $g'\left( x \right)\ge 0\forall x\in \left( 0;2 \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm
- Sử dụng phương pháp cô lập $m.$
Cách giải:
Đặt $y=g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)$ ta có $g'\left( x \right)=\left( 2x+3 \right)f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right).$
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ thì $g'\left( x \right)\ge 0\forall x\in \left( 0;2 \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm
$\Rightarrow \left( 2x+3 \right)f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\ge 0\forall x\in \left( 0;2 \right).$
$\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\ge 0\forall x\in \left( 0;2 \right)$ (do $2x+3>0\forall x\in \left( 0;2 \right)$ ) (*)
Ta có: $f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 1 \\
& x\le -3 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+3x-m\ge 1\forall x\in \left( 0;2 \right) \\
& {{x}^{2}}+3x-m\le -3\forall x\in \left( 0;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+3x\ge m+1\forall x\in \left( 0;2 \right) \\
& {{x}^{2}}+3x\le m-3\forall x\in \left( 0;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\left( ** \right).$
Đặt $h\left( x \right)={{x}^{2}}+3x,$ khi đó $\left( ** \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h\left( x \right)\ge m+1\forall x\in \left( 0;2 \right) \\
& h\left( x \right)\le m-3\forall x\in \left( 0;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)\ge m+1 \\
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)\le m-3 \\
\end{aligned} \right..$
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{2}}+3x$ trên $\left[ 0;2 \right]$ ta có $h'\left( x \right)=2x+3=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}\notin \left[ 0;2 \right].$
Có $h\left( 0 \right)=0,h\left( 2 \right)=10$ nên $\left[ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=0\ge m+1 \\
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=10\le m-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge 13 \\
\end{aligned} \right..$
Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \left[ -10;2021 \right] \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.. $ Vậy có 2019 giá trị của $ m$ thỏa mãn.