Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+3 \right).$ Có bao nhiêu giá trị...

Ta có $f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\Rightarrow f'\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 1 \\
& x\le -3 \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)$.
* $y'=\left( 2x+3 \right)f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right),\forall x\in \left( 0;2 \right).$
*$y'\ge 0\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+3x-m\ge 1 \\
& {{x}^{2}}+3x-m\le -3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le \underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\min }} \left( {{x}^{2}}+3x-1 \right) \\
& m\ge \underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} \left( {{x}^{2}}+3x+3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge 13 \\
\end{aligned} \right. $mà $ m\in \mathbb{Z},m\in \left[ -10;20 \right] $ nên $ m\in \left\{ -10;-9;...;-1 \right\}\cup \left\{ 13;14;...;20 \right\}.$
Vậy có tất cả 18 giá trị của $m$.