Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f\left( 4 \right)=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 4x \right)\text{d}x}=1$, khi đó $\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\text{d}x}$ bằng
A. $\dfrac{31}{2}$.
B. $-16$.
C. $8$.
D. $14$.
A. $\dfrac{31}{2}$.
B. $-16$.
C. $8$.
D. $14$.
Đặt $t=4x$ $\Rightarrow \text{dt}=4\text{d}x$. Khi đó: $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 4x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{t.f\left( t \right)}{16}\text{dt}}=1$ $\Rightarrow \int\limits_{0}^{4}{xf\left( x \right)\text{d}x}=16$
Xét: $\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\text{dx}}$
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
$\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{2x.f\left( x \right)\text{d}x}=16.f\left( 4 \right)-2\int\limits_{0}^{4}{x.f\left( x \right)\text{d}x}=16-2.16=-16$
Xét: $\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\text{dx}}$
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
$\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{2x.f\left( x \right)\text{d}x}=16.f\left( 4 \right)-2\int\limits_{0}^{4}{x.f\left( x \right)\text{d}x}=16-2.16=-16$
Đáp án B.