Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f\left( 5-2x \right)$ như hình vẽ bên dưới:
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ thuộc khoảng $(-9 ; 9)$ thỏa mãn $2 m \in \mathbb{Z}$ và hàm số $y=\left|2 f\left(4 x^{3}+1\right)+m-\dfrac{1}{2}\right|$ có 5 điểm cực trị ?
A. 26 .
B. 25 .
C. 27 .
D. 24 .
A. 26 .
B. 25 .
C. 27 .
D. 24 .
Đặt $t=5-2 x \Rightarrow x=\dfrac{5-t}{2}$. Bảng biến thiên của hàm số $f(t)$ :
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $y=f(t)$ có 3 điểm cực trị.
Đặt : $g(x)=f\left(4 x^{3}+1\right) \Rightarrow g^{\prime}(x)=12 x^{2} f^{\prime}\left(4 x^{3}+1\right)$
$g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ f^{\prime}\left(4 \mathrm{x}^{3}+1\right)=0\left(^{*}\right)\end{array}\right.$ có 3 nghiệm đơn )
$\Rightarrow$ hàm số $y=f\left(4 x^{3}+1\right)$ có 3 điểm cực trị.
Hàm số $y=\left|2 f\left(4 x^{3}+1\right)+m-\dfrac{1}{2}\right|$ có 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow$ Hàm số $\dfrac{y}{2}=\left|f\left(4 x^{3}+1\right)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}\right|$ có 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow$ Phương trình $f\left(4 x^{3}+1\right)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$ (1) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.
Đặt $t=4 x^{3}+1 \Rightarrow t^{\prime}=12 x^{2}$. Suy ra $\mathrm{t}$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Ứng với mỗi giá trị của $\mathrm{t}$ ta có một giá trị của $x$. Số nghiệm của phương trình bằng số nghiệm của phương trình $f(t)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0 \text {. }$
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(t)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$ có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khi và chỉ khi
$\left[\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2} \geq \dfrac{9}{4} \\ -4<\dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2} \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m \leq-4 \\ \dfrac{1}{2} \leq m<\dfrac{17}{2}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 m \leq-8 \\ 1 \leq 2 m<17\end{array}\right.\right.\right.$.
Kết hợp yêu cầu $m$ thuộc khoảng $(-9 ; 9)$ và $2 m \in \mathbb{Z}$ ta có 26 giá trị thực của $m$ thỏa mãn đề bài.
Đặt : $g(x)=f\left(4 x^{3}+1\right) \Rightarrow g^{\prime}(x)=12 x^{2} f^{\prime}\left(4 x^{3}+1\right)$
$g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ f^{\prime}\left(4 \mathrm{x}^{3}+1\right)=0\left(^{*}\right)\end{array}\right.$ có 3 nghiệm đơn )
$\Rightarrow$ hàm số $y=f\left(4 x^{3}+1\right)$ có 3 điểm cực trị.
Hàm số $y=\left|2 f\left(4 x^{3}+1\right)+m-\dfrac{1}{2}\right|$ có 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow$ Hàm số $\dfrac{y}{2}=\left|f\left(4 x^{3}+1\right)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}\right|$ có 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow$ Phương trình $f\left(4 x^{3}+1\right)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$ (1) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.
Đặt $t=4 x^{3}+1 \Rightarrow t^{\prime}=12 x^{2}$. Suy ra $\mathrm{t}$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Ứng với mỗi giá trị của $\mathrm{t}$ ta có một giá trị của $x$. Số nghiệm của phương trình bằng số nghiệm của phương trình $f(t)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0 \text {. }$
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(t)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$ có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khi và chỉ khi
$\left[\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2} \geq \dfrac{9}{4} \\ -4<\dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2} \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m \leq-4 \\ \dfrac{1}{2} \leq m<\dfrac{17}{2}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 m \leq-8 \\ 1 \leq 2 m<17\end{array}\right.\right.\right.$.
Kết hợp yêu cầu $m$ thuộc khoảng $(-9 ; 9)$ và $2 m \in \mathbb{Z}$ ta có 26 giá trị thực của $m$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án A.