Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;2 \right).$
B. Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right).$
C. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;0 \right).$
D. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;-2 \right).$
A. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;2 \right).$
B. Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right).$
C. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;0 \right).$
D. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;-2 \right).$
Ta có: ${g}'\left( x \right)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}-2=2 \\
& {{x}^{2}}-2=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 2 \\
& x=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$ :
Suy ra hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -2;0 \right), \left( 2;+\infty \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-2 \right), \left( 0;2 \right)$.
Do đó: phương án $\text{A}\text{,} \text{B}\text{,} \text{D}$ đúng và phương án $\text{C}$ sai. Vậy chọn phương án $\text{C}$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}-2=2 \\
& {{x}^{2}}-2=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 2 \\
& x=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$ :
Suy ra hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -2;0 \right), \left( 2;+\infty \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-2 \right), \left( 0;2 \right)$.
Do đó: phương án $\text{A}\text{,} \text{B}\text{,} \text{D}$ đúng và phương án $\text{C}$ sai. Vậy chọn phương án $\text{C}$.
Đáp án C.