Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và đồ thị của hàm số $f'\left( x \right)$ như hình vẽ sau:
Hỏi phương trình $f\left( \dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{1}{3}{{\cos }^{6}}x-\dfrac{1}{4}{{\sin }^{2}}2x+\dfrac{7}{24}-f\left( \dfrac{1}{2} \right)=0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( \dfrac{\pi }{4};2\pi \right)?$
A. $2$
B. $6$
C. $4$
D. $3$
Hỏi phương trình $f\left( \dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{1}{3}{{\cos }^{6}}x-\dfrac{1}{4}{{\sin }^{2}}2x+\dfrac{7}{24}-f\left( \dfrac{1}{2} \right)=0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( \dfrac{\pi }{4};2\pi \right)?$
A. $2$
B. $6$
C. $4$
D. $3$
+ Phương trình $\Leftrightarrow f\left( {{\cos }^{2}}x \right)-\dfrac{1}{2}{{\cos }^{6}}x+{{\cos }^{4}}x-{{\cos }^{2}}x=f\left( \dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{1}{3}{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{3}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{2}.\left( * \right)$
+ Xét hàm số $g\left( t \right)=f\left( t \right)-\dfrac{1}{3}{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-t$ trên $\left[ 0;1 \right].$
Ta có: $g'\left( t \right)=f'\left( t \right)-{{\left( t-1 \right)}^{2}}$
Từ tương giao giữa đồ thị $f'$ và Parabol $y={{\left( x-1 \right)}^{2}}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$
Suy ra: $f'\left( t \right)\ge {{\left( t-1 \right)}^{2}},\forall t\in \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow g'\left( t \right)\ge 0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]$
Hay $g\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left[ 0;1 \right].$
+ Do đó:
$\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( co{{s}^{2}}x \right)=g\left( \dfrac{1}{2} \right)\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x=\dfrac{1}{2},$ (do ${{\cos }^{2}}x\in \left[ 0;1 \right])\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2}.$
Dễ dàng suy ra phương trình có 3 nghiệm trên khoảng $\left( \dfrac{\pi }{4};2\pi \right).$
+ Xét hàm số $g\left( t \right)=f\left( t \right)-\dfrac{1}{3}{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-t$ trên $\left[ 0;1 \right].$
Ta có: $g'\left( t \right)=f'\left( t \right)-{{\left( t-1 \right)}^{2}}$
Từ tương giao giữa đồ thị $f'$ và Parabol $y={{\left( x-1 \right)}^{2}}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$
Suy ra: $f'\left( t \right)\ge {{\left( t-1 \right)}^{2}},\forall t\in \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow g'\left( t \right)\ge 0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]$
Hay $g\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left[ 0;1 \right].$
+ Do đó:
$\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( co{{s}^{2}}x \right)=g\left( \dfrac{1}{2} \right)\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x=\dfrac{1}{2},$ (do ${{\cos }^{2}}x\in \left[ 0;1 \right])\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2}.$
Dễ dàng suy ra phương trình có 3 nghiệm trên khoảng $\left( \dfrac{\pi }{4};2\pi \right).$
Đáp án D.