Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ trên $\mathbb{R}$ và đồ thị của hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ sau: Hỏi...

+ Phương trình $\iff f\left({\cos }^{2}x\right)-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\cos }^{6}x+{\cos }^{4}x-{\cos }^{2}x=f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}.(\ast )$
+ Xét hàm số $g\left(t\right)=f\left(t\right)-{\displaystyle \frac{1}{3}}{t}^3+t^2-t$ trên $[0;1].$
Ta có: $g^{\prime }\left(t\right)=f^{\prime }\left(t\right)-{(t-1)}^2$
Từ tương giao giữa đồ thị $f^{\prime }$ và Parabol $y={(x-1)}^2$ trên đoạn $[0;1]$

Suy ra: $f^{\prime }\left(t\right)\ge {(t-1)}^2,\mathrm{\forall }t\in [0;1]\iff g^{\prime }\left(t\right)\ge 0,\mathrm{\forall }t\in [0;1]$
Hay $g\left(t\right)$ là hàm số đồng biến trên $[0;1].$
+ Do đó:
$(\ast )\iff g\left(co{s}^{2}x\right)=g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\iff {\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{2}},$ (do ${\cos }^{2}x\in [0;1])\iff \cos 2x=0\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}}.$
Dễ dàng suy ra phương trình có 3 nghiệm trên khoảng $({\displaystyle \frac{\pi }{4}};2\pi ).$