Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trên $\left[ 0;+\infty \right).$ Biết $f\left( 0 \right)=0$ và hàm số $y=f'\left( x \right)$ có...

Phương pháp:
- Sử dụng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right),$ đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx.}$ Tính $\int\limits_{0}^{3}{f'\left( x \right)dx,}$ từ đó so sánh $f\left( 3 \right),f'\left( 3 \right).$
- Từ đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ suy ra BXD hàm số $f''\left( x \right),$ so sánh $f''\left( 3 \right)$ với 0.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta có $f'\left( 3 \right)=0.$
Ta có $S=\int\limits_{0}^{3}{\left| f'\left( x \right) \right|dx}=-\int\limits_{0}^{3}{f'\left( x \right)dx}=f\left( 0 \right)-f\left( 3 \right)>0$ nên $f\left( 3 \right)<f\left( 0 \right)=0\Rightarrow f\left( 3 \right)<f'\left( 3 \right).$
Xét hàm số $f'\left( x \right)$ trên $\left[ 0;+\infty \right)$, hàm số có 2 điểm cực trị $\left\{ \begin{aligned}
& x=a\in \left( 0;3 \right) \\
& x=b>3 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có BXD $f''\left( x \right)$ như sau:

$\Rightarrow f''\left( 3 \right)>0=f'\left( 3 \right).$
Vậy $f\left( 3 \right)<f'\left( 3 \right)<f''\left( 3 \right).$