Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đại hàm $f'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên...

$g'\left( x \right)=\left( 4x-12 \right).f'\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)$
$=\left( 4x-12 \right){{\left( 2{{x}^{2}}-12x+m+1 \right)}^{2}}\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)\left( 2{{x}^{2}}-12x+m-4 \right)$
Hàm số $g\left( x \right)$ có đúng 5 điểm cực trị
$\Leftrightarrow g'\left( x \right)$ đổi dấu 5 lần
$\Leftrightarrow g'\left( x \right)=0$ có 5 nghiệm đơn phân biệt
$\Leftrightarrow $ phương trình $2{{x}^{2}}-12x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình $2{{x}^{2}}-12x+m-4=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 3 và các nghiệm này khác nhau
Phương trình $2{{x}^{2}}-12x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình $3{{x}^{2}}-12x+m-4=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 3.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta {{'}_{1}}>0 \\
& \Delta {{'}_{2}}>0 \\
& {{2.3}^{2}}-12.3+m\ne 0 \\
& {{2.3}^{2}}-12.3+m-4\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 36-2m>0 \\
& 36-2\left( m-4 \right)>0 \\
& m\ne 18 \\
& m\ne 22 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<18$
Với điều kiện $m<18$ thì phương trình $2{{x}^{2}}-12x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt là $a;b$ và phương trình $2{{x}^{2}}-12x+m-4=0$ có hai nghiệm phân biệt là $c,d.$
Theo Vi-ét ta có $\left\{ \begin{aligned}
& a+b=c+d=6 \\
& a.b=m \\
& c.d=m-4 \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $a=c$ thì $b=d$ (vì $a+b=c+d=6)\Rightarrow a.b=c.d\Leftrightarrow m=m-4$ điều này là vô lí
Do đó các nghiệm của hai phương trình $2{{x}^{2}}-12x+m=0$ và $2{{x}^{2}}-12x+m-4=0$ luôn khác nhau.
Mà $m$ là số nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4...17 \right\}.$ Do đó có 17 giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.