Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau: Gọi...

Xét hàm số $g\left( x \right)=\left| \left| 2f\left( x \right)-2 \right|+f\left( x \right)+10-m \right|$ trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$.
Ta có: $g\left( x \right)=\left| \left| 2f\left( x \right)-2 \right|+f\left( x \right)+10-m \right|=\left| -2f\left( x \right)+2+f\left( x \right)+10-m \right|$ vì $f\left( x \right)\le 1 \forall x\in \left[ -2;2 \right]$.
Hay $g\left( x \right)=\left| -f\left( x \right)+12-m \right|=\left| f\left( x \right)+m-12 \right|$ trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)+m-12$ trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$.
Ta có bảng biến thiên

Suy ra: $\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{Max}} g\left( x \right)=Max\left\{ \left| m-14 \right|;\left| m-11 \right| \right\}$
Theo yêu cầu bài toán ta có: $\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{Max}} g\left( x \right)\le 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| m-14 \right|\le 2 \\
& \left| m-11 \right|\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2\le m-14\le 2 \\
& -2\le m-11\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 12\le m\le 16 \\
& 9\le m\le 13 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 12\le m\le 13$.
Từ đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& m-11>0 \\
& m-14<0 \\
\end{aligned} \right. $. Nên $ \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{Min}} g\left( x \right)=0 $và $ \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{Max}} g\left( x \right)=2$.
Suy ra: $\left[ \begin{aligned}
& \left| m-14 \right|=2 \\
& \left| m-11 \right|=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=16 \\
& m=12 \\
& m=13 \\
& m=9 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $12\le m\le 13$ nên $\left[ \begin{aligned}
& m=13 \\
& m=12 \\
\end{aligned} \right. $. Ta có: $ 12.13=156$.