Cho hàm số $f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để trên đoạn $[-1;2]$ phương...

Xét hàm số $y=g\left(x\right)=3f(x^2-2x-1)$ trên đoạn $[-1;2].$
Ta có $y^{\prime }=g^{\prime }\left(x\right)=3(2x-2).f^{\prime }(x^2-2x-1).$
$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}& 2x-2=0\\ & x^2-2x-1=-2\\ & x^2-2x-1=-1\\ & x^2-2x-1=1\\ & x^2-2x-1=2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & x=0\\ & x=2\\ & x=1+\sqrt{3}\notin [-1;2]\\ & x=1-\sqrt{3}\\ & x=-1\\ & x=3\notin [-1;2]\end{array}$
Ta có $x=-1\Rightarrow g(-1)=3.f\left(2\right)=12$
$x=1-\sqrt{3}\Rightarrow g(1-\sqrt{3})=3.f\left(1\right)=15$
$x=0\Rightarrow g\left(0\right)=3.f(-1)=-15$
$x=1\Rightarrow g\left(1\right)=3.f(-2)=-12$
$x=2\Rightarrow g\left(2\right)=3.f(-1)=-15$
Ta có bảng biến thiên:

Trên đoạn $[-1;2]$ số nghiệm của phương trình $3f(x^2-2x-1)=m$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=3f(x^2-2x-1)$ với đường thẳng $y=m.$ Vậy để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt trên đoạn $[-1;2]$ thì $[\begin{array}{rl}& m=-12\\ & 12\le m<15\end{array}.$ Vậy các giá trị nguyên của $m$ là: $-12,12,13,14.$ Có bốn giá trị nguyên của $m$ nên ta chọn đáp án A.