Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ phương...

Xét hàm số $y=g\left( x \right)=3f\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right].$
Ta có $y'=g'\left( x \right)=3\left( 2x-2 \right).f'\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right).$
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-2=0 \\
& {{x}^{2}}-2x-1=-2 \\
& {{x}^{2}}-2x-1=-1 \\
& {{x}^{2}}-2x-1=1 \\
& {{x}^{2}}-2x-1=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=1+\sqrt{3}\notin \left[ -1;2 \right] \\
& x=1-\sqrt{3} \\
& x=-1 \\
& x=3\notin \left[ -1;2 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $x=-1\Rightarrow g\left( -1 \right)=3.f\left( 2 \right)=12$
$x=1-\sqrt{3}\Rightarrow g\left( 1-\sqrt{3} \right)=3.f\left( 1 \right)=15$
$x=0\Rightarrow g\left( 0 \right)=3.f\left( -1 \right)=-15$
$x=1\Rightarrow g\left( 1 \right)=3.f\left( -2 \right)=-12$
$x=2\Rightarrow g\left( 2 \right)=3.f\left( -1 \right)=-15$
Ta có bảng biến thiên:

Trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ số nghiệm của phương trình $3f\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)=m$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=3f\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)$ với đường thẳng $y=m.$ Vậy để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ thì $\left[ \begin{aligned}
& m=-12 \\
& 12\le m<15 \\
\end{aligned} \right.. $ Vậy các giá trị nguyên của $ m $ là: $ -12,12,13,14. $ Có bốn giá trị nguyên của $ m$ nên ta chọn đáp án A.