Cho hàm số $f\left( x \right)$ biết $f'\left( x \right)={{x}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( {{x}^{2}}-2mx+m+6 \right).$ Số giá trị nguyên...

Ta có $f'\left( x \right)={{x}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( {{x}^{2}}-2mx+m+6 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2mx+m+6=0 \\
\end{aligned} \right.$
Trong đó nghiệm $x=0$ là nghiệm bội chẵn nên không là điểm cực trị.
Để hàm số $f\left( x \right)$ có đúng một điểm cực trị thì phương trình: $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+m+6=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x=1$ hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x=1.$
Trường hợp 1: $\Delta '<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-6<0\Leftrightarrow -2<m<3.$
Trường hợp 2:
$\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '>0 \\
& g\left( 1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '=0 \\
& \dfrac{-b}{2a}=1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-6>0 \\
& -m+7=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-6=0 \\
& m=1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>3 \\
\end{aligned} \right. \\
& m=7 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=-2 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right. \\
& m=1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=7$
Vậy $m\in \left\{ -1;0;1;2;7 \right\}.$ Suy ra có 5 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.