Cho hàm số $f\left(x\right)$ biết $f^{\prime }\left(x\right)=x^2{(x-1)}^3(x^2-2mx+m+6).$ Số giá trị nguyên...

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=x^2{(x-1)}^3(x^2-2mx+m+6)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=1\\ & x^2-2mx+m+6=0\end{array}$
Trong đó nghiệm $x=0$ là nghiệm bội chẵn nên không là điểm cực trị.
Để hàm số $f\left(x\right)$ có đúng một điểm cực trị thì phương trình: $g\left(x\right)=x^2-2mx+m+6=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x=1$ hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x=1.$
Trường hợp 1: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\iff m^2-m-6<0\iff -2<m<3.$
Trường hợp 2:
$[\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ & g\left(1\right)=0\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0\\ & {\displaystyle \frac{-b}{2a}}=1\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& m^2-m-6>0\\ & -m+7=0\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& m^2-m-6=0\\ & m=1\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& m<-2\\ & m>3\end{array}\\ & m=7\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& m=-2\\ & m=3\end{array}\\ & m=1\end{array}\end{array}\iff m=7$
Vậy $m\in \{-1;0;1;2;7\}.$ Suy ra có 5 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.