Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e,(a\ne 0)$ có đồ thị của đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ...

Ta có: $y^{\prime }=(f^{\prime }\left(x\right)-2)f^{″}[f\left(x\right)-2x]$
$y^{\prime }=0\iff (f^{\prime }\left(x\right)-2)f^{″}[f\left(x\right)-2x]=0\iff [\begin{array}{rl}& f^{\prime }\left(x\right)-2=0\left(1\right)\\ & f^{″}[f\left(x\right)-2x]=0\left(2\right)\end{array}$
Xét phương trình $\left(1\right)\iff f^{\prime }\left(x\right)=2.$

Từ đồ thị ta có phương trình $\left(1\right)$ có 3 nghiệm phân biệt $x_1,0,x_2(x_1<m<0<n<x_2).$
Xét phương trình $\left(2\right).$
Trước hết ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d.$
$f^{\prime }\left(0\right)=2\iff d=2.$
Suy ra: $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+2x+e.$
$\left(2\right)\iff f^{″}[f\left(x\right)-2x]=0\iff [\begin{array}{rl}& f\left(x\right)-2x=m\\ & f\left(x\right)-2x=n\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+e=m\\ & a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+e=n\end{array}$
$\iff [\begin{array}{rl}& a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2=m-e\left(2a\right)\\ & a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2=n-e\left(2b\right)\end{array}.$
Số nghiệm của hai phương trình $\left(2a\right)$ và $\left(2b\right)$ lần lượt bằng số giao điểm của hai đường thẳng $y=m-e$ và $y=n-e$ (trong đó $m-e<n-e<0)$ với đồ thị hàm số $g\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2.$
$g^{\prime }\left(x\right)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx.$
$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff 4a{x}^3+3b{x}^2+2cx=0\iff 4a{x}^3+3b{x}^3+2cx+2=2$
$\iff f^{\prime }\left(x\right)=2\iff [\begin{array}{rl}& x=x_1<0\\ & x=0\\ & x=x_2>0\end{array}$
Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ suy ra:
+) $\underset{x\Rightarrow -\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$ nên $a<0$ nên $\underset{x\Rightarrow -\mathrm{\infty }}{lim}g\left(x\right)=-\mathrm{\infty },\underset{x\Rightarrow +\mathrm{\infty }}{lim}g\left(x\right)=-\mathrm{\infty }.$
Bảng biến thiên của hàm số $y=g\left(x\right):$

Từ bảng biến thiên suy ra hai phương trình $\left(2a\right),\left(2b\right)$ mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt
(hai phương trình không có nghiệm trùng nhau) và khác $x_1,0,x_2.$
Suy ra phương trình $(f^{\prime }\left(x\right)-2)f^{″}[f\left(x\right)-2x]=0$ có 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số $y=f^{\prime }[f\left(x\right)-2x]$ có 7 điểm cực trị.