Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+2\left( a+4 \right){{x}^{2}}-1$ với $a$ là tham số thực. Nếu $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$ thì $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$ bằng
A. $-17$.
B. $-16$.
C. $-1$.
D. $3$.
A. $-17$.
B. $-16$.
C. $-1$.
D. $3$.
Ta có: $f'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+4\left( a+4 \right)x$ ; $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& a{{x}^{2}}+a+4=0 \\
\end{aligned} \right.$
Nếu phương trình $a{{x}^{2}}+a+4=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 0 thì $\left[ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)>f\left( 1 \right) \\
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)>f\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$, trái với giả thiết.
Do đó phương trình $a{{x}^{2}}+a+4=0$ có hai nghiệm phân biệt. Và $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$ nên phương trình $a{{x}^{2}}+a+4=0$ có nghiệm $x=1$. Suy ra $a=-2$.
Với $a=-2$ thì $f\left( x \right)=-2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-1$ nên $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=-17$.
& x=0 \\
& a{{x}^{2}}+a+4=0 \\
\end{aligned} \right.$
Nếu phương trình $a{{x}^{2}}+a+4=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 0 thì $\left[ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)>f\left( 1 \right) \\
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)>f\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$, trái với giả thiết.
Do đó phương trình $a{{x}^{2}}+a+4=0$ có hai nghiệm phân biệt. Và $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$ nên phương trình $a{{x}^{2}}+a+4=0$ có nghiệm $x=1$. Suy ra $a=-2$.
Với $a=-2$ thì $f\left( x \right)=-2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-1$ nên $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=-17$.
Đáp án A.