Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm $x=-1$ và $x=3$. Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $f\left( x \right)=am+3bx+d$ có 3 nghiệm phân biệt?
A. $2\cdot $
B. $3\cdot $
C. $5\cdot $
D. $4\cdot $
A. $2\cdot $
B. $3\cdot $
C. $5\cdot $
D. $4\cdot $
Ta có ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ $\left( a\ne 0 \right)$.
$\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( -1 \right)=0 \\
& {f}'\left( 3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a-2b+c=0 \\
& 27a+6b+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-3a \\
& c=-9a \\
\end{aligned} \right.$
Ta có phương trình $f\left( x \right)=am+3bx+d\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+\left( c-3b \right)x=am$
$\Leftrightarrow a{{x}^{3}}-3a{{x}^{2}}=am\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=m$.
Đặt $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$.
${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên $g(x)$
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -4<m<0$.
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -3;-2;-1 \right\}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( -1 \right)=0 \\
& {f}'\left( 3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a-2b+c=0 \\
& 27a+6b+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-3a \\
& c=-9a \\
\end{aligned} \right.$
Ta có phương trình $f\left( x \right)=am+3bx+d\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+\left( c-3b \right)x=am$
$\Leftrightarrow a{{x}^{3}}-3a{{x}^{2}}=am\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=m$.
Đặt $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$.
${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên $g(x)$
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -3;-2;-1 \right\}$.
Đáp án B.