Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,(a,b,c,d$ là các hệ số thực và $a\ne 0)$ có đồ thị $f'\left( x \right)$ như hình bên.
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2x \right)+{{2021}^{m}}\left( \ln x-\dfrac{1}{x} \right)$ nghịch biến trên $\left[ 1;+\infty \right).$
A. 0
B. 1
C. 2020
D. 2021
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2x \right)+{{2021}^{m}}\left( \ln x-\dfrac{1}{x} \right)$ nghịch biến trên $\left[ 1;+\infty \right).$
A. 0
B. 1
C. 2020
D. 2021
Ta có $y'=\left( 2x+2 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)+{{2021}^{m}}.\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right).$ Để hàm số nghịch biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$ thì
$y'\le 0,\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)\Leftrightarrow \left( 2x+2 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)+{{2021}^{m}}.\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\le 0,\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{2021}^{m}}.\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}}\le -\left( 2x+2 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right),\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{2021}^{m}}\le -2{{x}^{2}}f'\left( {{x}^{2}}+2x \right),\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{2021}^{m}}\le Ming\left( x \right),\forall x\in \left[ 1;+\infty \right),g\left( x \right)=-2{{x}^{2}}f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)$
Mặt khác $g\left( 1 \right)=-2.f'\left( 3 \right)=0,$ do đó ${{2021}^{m}}\le 0$ (vô lý), vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.
$y'\le 0,\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)\Leftrightarrow \left( 2x+2 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)+{{2021}^{m}}.\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\le 0,\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{2021}^{m}}.\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}}\le -\left( 2x+2 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right),\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{2021}^{m}}\le -2{{x}^{2}}f'\left( {{x}^{2}}+2x \right),\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{2021}^{m}}\le Ming\left( x \right),\forall x\in \left[ 1;+\infty \right),g\left( x \right)=-2{{x}^{2}}f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)$
Mặt khác $g\left( 1 \right)=-2.f'\left( 3 \right)=0,$ do đó ${{2021}^{m}}\le 0$ (vô lý), vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.
Đáp án A.