Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=-4{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ là $-3;-1;1$. $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của hàm số $F\left( x \right)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=F\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{128}{15}$.
B. $\dfrac{64}{15}$.
C. $16$.
D. $64$.
A. $\dfrac{128}{15}$.
B. $\dfrac{64}{15}$.
C. $16$.
D. $64$.
Ta có $f\left( x \right)=-4{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ là $-3;-1;1$ suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& 9a-3b+c=-84 \\
& a-b+c=-1 \\
& a+b+c=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-12 \\
& b=4 \\
& c=12 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow f\left( x \right)=-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+4x+12$
$F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=-{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+12x+C$
Giả sử $g\left( x \right)=m{{x}^{2}}+nx+p$, đồ thị $g\left( x \right)$ đi qua các điểm cực trị của hàm số $F\left( x \right)$ là $\left( -3;C+9 \right),\left( -1;C-7 \right);\left( 1;C+9 \right)$ nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& 9m-3n+p=C+9 \\
& m-n+p=C-7 \\
& m+n+p=C+9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=4 \\
& n=8 \\
& p=C-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=4{{x}^{2}}+8x+C-3$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=F\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng
$S=\int_{-3}^{1}{\left| F\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}=\int_{-3}^{1}{\left| -{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+4x+3 \right|dx}=\dfrac{128}{15}$.
& 9a-3b+c=-84 \\
& a-b+c=-1 \\
& a+b+c=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-12 \\
& b=4 \\
& c=12 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow f\left( x \right)=-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+4x+12$
$F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=-{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+12x+C$
Giả sử $g\left( x \right)=m{{x}^{2}}+nx+p$, đồ thị $g\left( x \right)$ đi qua các điểm cực trị của hàm số $F\left( x \right)$ là $\left( -3;C+9 \right),\left( -1;C-7 \right);\left( 1;C+9 \right)$ nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& 9m-3n+p=C+9 \\
& m-n+p=C-7 \\
& m+n+p=C+9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=4 \\
& n=8 \\
& p=C-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=4{{x}^{2}}+8x+C-3$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=F\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng
$S=\int_{-3}^{1}{\left| F\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}=\int_{-3}^{1}{\left| -{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+4x+3 \right|dx}=\dfrac{128}{15}$.
Đáp án A.