Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}.$ Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số $m$ để phương trình $f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)+f\left( \log _{2}^{3}x \right)=0$ có nghiệm $x\in \left( 1;16 \right)$
A. 68.
B. 65.
C. 67.
D. 69.
A. 68.
B. 65.
C. 67.
D. 69.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}.$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
Ta có: $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D;f\left( -x \right)={{2020}^{-x}}-{{2020}^{x}}=-\left( {{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}} \right)=-f\left( x \right)$
Vậy hàm số $f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}$ là hàm số lẻ.
Lại có:
$f'\left( x \right)={{2020}^{x}}.\ln 2020-{{2020}^{-x}}.\ln 2020.\left( -x \right)'={{2020}^{x}}.\ln 2020+{{2020}^{-x}}.\ln 2020>0\forall x\in D$
Do đó hàm số $f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Theo đề bài ta có:
$f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)+f\left( \log _{2}^{3}x \right)=0$
$\Leftrightarrow f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)=-f\left( \log _{2}^{3}x \right)$
$\Leftrightarrow f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)=f\left( -\log _{2}^{3}x \right)$ (Do $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ)
Mặt khác hàm số $f\left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên phương trình có nghiệm duy nhất:
${{\log }_{2}}x-m=-\log _{2}^{3}x\Leftrightarrow m=\log _{2}^{3}x+{{\log }_{2}}x$
Đặt ${{\log }_{2}}x=1.$ Với $x\in \left( 1;16 \right)\Rightarrow t\in \left( 0;4 \right).$
Yêu cầu bài toán trở thành, tìm $m$ để phương trình:
$m={{t}^{3}}+t$ có nghiệm $t\in \left( 0;4 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ trên khoảng $\left( 0;4 \right)$
Ta có: $f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+t>0\forall t$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;4 \right)$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình có nghiệm trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ thì: $0<m<68$
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số $m$ để phương trình $f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)+f\left( \log _{2}^{3}x \right)=0$ có nghiệm $x\in \left( 1;16 \right)$ là: $m=67$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
Ta có: $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D;f\left( -x \right)={{2020}^{-x}}-{{2020}^{x}}=-\left( {{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}} \right)=-f\left( x \right)$
Vậy hàm số $f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}$ là hàm số lẻ.
Lại có:
$f'\left( x \right)={{2020}^{x}}.\ln 2020-{{2020}^{-x}}.\ln 2020.\left( -x \right)'={{2020}^{x}}.\ln 2020+{{2020}^{-x}}.\ln 2020>0\forall x\in D$
Do đó hàm số $f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Theo đề bài ta có:
$f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)+f\left( \log _{2}^{3}x \right)=0$
$\Leftrightarrow f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)=-f\left( \log _{2}^{3}x \right)$
$\Leftrightarrow f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)=f\left( -\log _{2}^{3}x \right)$ (Do $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ)
Mặt khác hàm số $f\left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên phương trình có nghiệm duy nhất:
${{\log }_{2}}x-m=-\log _{2}^{3}x\Leftrightarrow m=\log _{2}^{3}x+{{\log }_{2}}x$
Đặt ${{\log }_{2}}x=1.$ Với $x\in \left( 1;16 \right)\Rightarrow t\in \left( 0;4 \right).$
Yêu cầu bài toán trở thành, tìm $m$ để phương trình:
$m={{t}^{3}}+t$ có nghiệm $t\in \left( 0;4 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ trên khoảng $\left( 0;4 \right)$
Ta có: $f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+t>0\forall t$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;4 \right)$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình có nghiệm trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ thì: $0<m<68$
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số $m$ để phương trình $f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)+f\left( \log _{2}^{3}x \right)=0$ có nghiệm $x\in \left( 1;16 \right)$ là: $m=67$.
Đáp án C.