Cho hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+nx+2022$ với...

Ta có , , .
Suy ra .
. (*)
Vì hàm số có hai giá trị cực trị nên phương trình (*) có nghiệm phân biệt , (giả sử ).
Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Từ đây suy ra và .
Mặt khác .
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)-f\left( x \right)+12=0 \\
& g\left( x \right)\ne -12 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=0 \\
& g\left( x \right)\ne -12 \\
\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}y=1S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| 1-\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12} \right|\text{d}x}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \dfrac{g\left( x \right)-f\left( x \right)+12}{g\left( x \right)+12} \right|\text{d}x}=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}\text{d}x} \right|=\left| \left. \ln \left| g\left( x \right)+12 \right| \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|=\left| \ln \left| g\left( {{x}_{2}} \right)+12 \right|-\ln \left| g\left( {{x}_{1}} \right)+12 \right| \right|=\left| 1-2022 \right|=2021$.