Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a$, $b$, $c$ là các số thực. Biết hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là $-4$ và $4$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}$ và $y=1$ bằng
A. $2\ln 3$.
B. $\ln 3$.
C. $\ln 18$.
D. $\ln 2$.
A. $2\ln 3$.
B. $\ln 3$.
C. $\ln 18$.
D. $\ln 2$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right).$
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+{{{f}'}'}'\left( x \right)$ $={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+12$.
Theo giả thiết ta có phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm $m$, $n$ và $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( m \right)=-4 \\
& g\left( n \right)=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình $\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}=1$ $\Rightarrow g\left( x \right)+12-f\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+12=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=n \\
\end{aligned} \right.$.
Diện tích hình phẳng cần tính là:
$S=\left| \int\limits_{m}^{n}{\left( 1-\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12} \right)\text{d}x} \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{g\left( x \right)+12-f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}}\text{d}x \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+12}{g\left( x \right)+12}\text{d}x} \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}\text{d}x} \right|$ $=\left| \ln \left| g\left( x \right)+12 \right|\left| _{m}^{n} \right. \right|$ $=\left| \ln \left| g\left( n \right)+12 \right|-\ln \left| g\left( m \right)+12 \right| \right|$ $=\left| \left| \ln 8 \right|-\left| \ln \left( 16 \right) \right| \right|=\ln 2$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+{{{f}'}'}'\left( x \right)$ $={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+12$.
Theo giả thiết ta có phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm $m$, $n$ và $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( m \right)=-4 \\
& g\left( n \right)=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình $\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}=1$ $\Rightarrow g\left( x \right)+12-f\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+12=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=n \\
\end{aligned} \right.$.
Diện tích hình phẳng cần tính là:
$S=\left| \int\limits_{m}^{n}{\left( 1-\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12} \right)\text{d}x} \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{g\left( x \right)+12-f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}}\text{d}x \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+12}{g\left( x \right)+12}\text{d}x} \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}\text{d}x} \right|$ $=\left| \ln \left| g\left( x \right)+12 \right|\left| _{m}^{n} \right. \right|$ $=\left| \ln \left| g\left( n \right)+12 \right|-\ln \left| g\left( m \right)+12 \right| \right|$ $=\left| \left| \ln 8 \right|-\left| \ln \left( 16 \right) \right| \right|=\ln 2$.
Đáp án D.