Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{2019}^{t}}}{{{2019}^{t}}+m}$, với mlà tham số thực. Số các giá trị của mđể $f\left( x \right)+f\left( y \right)=1$ với mọi $x,y$ thỏa mãn $e{{~}^{x+y-1}}=e\left( x+y-1 \right)$ là:
A. Vô số
B. 2
C. 0
D. 1
A. Vô số
B. 2
C. 0
D. 1
Cách giải:
Đặt $x+y-1=t$ ta có: e $^{t}$ =et. Vì $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{t}}>0 \\
& e>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow t>0$
$\Rightarrow e=\dfrac{{{e}^{t}}}{t}\left( * \right)$.
Xét hàm số $g\left( t \right)\dfrac{{{e}^{t}}}{t}\left( t>0 \right)$ ta có: $g'\left( t \right)=\dfrac{{{e}^{t}}.t-{{e}^{t}}.1}{{{t}^{2}}}=\dfrac{{{e}^{t}}\left( t-1 \right)}{{{t}^{2}}}$
$g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1 \left( tm \right)$
Ta có BBT:
Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= g(t) và y= esong song với trục hoành.
Dựa vào BBT ta thấy ( )* $\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x+y-1=1\Leftrightarrow y=2-x.~$
Khi đó ta có $f\left( x \right)+f\left( y \right)=1\Leftrightarrow f\left( x \right)+f\left( 2-x \right)=1.~$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{2019}^{x}}}{{{2019}^{x}}+m}+\dfrac{{{2019}^{2-x}}}{{{2019}^{2-x}}+m}=1$
$\Leftrightarrow {{2019}^{x}}\left( {{2019}^{2-x}}+m \right)+{{2019}^{2-x}}\left( {{2019}^{x}}+m \right)=\left( {{2019}^{x}}+m \right)\left( {{2019}^{2-x}}+m \right)$
$\Leftrightarrow {{2.2019.2019}^{2-x}}+m\left( {{2019}^{x}}+{{2019}^{2-x}} \right)={{2019}^{x}}{{.2019}^{2-x}}+m\left( {{2019}^{x}}+{{2019}^{2-x}} \right)+{{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{2019}^{x}}{{.2019}^{2-x}}={{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{2019}^{2}}={{m}^{2}}$ $$
$\Leftrightarrow m=\pm 2019$
Vậy có 2 giá trị của mthỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt $x+y-1=t$ ta có: e $^{t}$ =et. Vì $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{t}}>0 \\
& e>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow t>0$
$\Rightarrow e=\dfrac{{{e}^{t}}}{t}\left( * \right)$.
Xét hàm số $g\left( t \right)\dfrac{{{e}^{t}}}{t}\left( t>0 \right)$ ta có: $g'\left( t \right)=\dfrac{{{e}^{t}}.t-{{e}^{t}}.1}{{{t}^{2}}}=\dfrac{{{e}^{t}}\left( t-1 \right)}{{{t}^{2}}}$
$g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1 \left( tm \right)$
Ta có BBT:
Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= g(t) và y= esong song với trục hoành.
Dựa vào BBT ta thấy ( )* $\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x+y-1=1\Leftrightarrow y=2-x.~$
Khi đó ta có $f\left( x \right)+f\left( y \right)=1\Leftrightarrow f\left( x \right)+f\left( 2-x \right)=1.~$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{2019}^{x}}}{{{2019}^{x}}+m}+\dfrac{{{2019}^{2-x}}}{{{2019}^{2-x}}+m}=1$
$\Leftrightarrow {{2019}^{x}}\left( {{2019}^{2-x}}+m \right)+{{2019}^{2-x}}\left( {{2019}^{x}}+m \right)=\left( {{2019}^{x}}+m \right)\left( {{2019}^{2-x}}+m \right)$
$\Leftrightarrow {{2.2019.2019}^{2-x}}+m\left( {{2019}^{x}}+{{2019}^{2-x}} \right)={{2019}^{x}}{{.2019}^{2-x}}+m\left( {{2019}^{x}}+{{2019}^{2-x}} \right)+{{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{2019}^{x}}{{.2019}^{2-x}}={{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{2019}^{2}}={{m}^{2}}$ $$
$\Leftrightarrow m=\pm 2019$
Vậy có 2 giá trị của mthỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.