Google
Câu hỏi: Cho hàm số đa thức $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết $f\left( 0 \right)=f\left( 5 \right)=0$ và đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ như hình sau
Hàm số $g\left( x \right)=\left| 4f\left( x \right)+{{x}^{2}} \right|+2020$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 4 ; +\infty \right)$.
B. $\left( 0 ; 4 \right)$.
C. $\left( -\infty ; 2 \right)$.
D. $\left( -2 ; 0 \right)$.
Hàm số $g\left( x \right)=\left| 4f\left( x \right)+{{x}^{2}} \right|+2020$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 4 ; +\infty \right)$.
B. $\left( 0 ; 4 \right)$.
C. $\left( -\infty ; 2 \right)$.
D. $\left( -2 ; 0 \right)$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=4f\left( x \right)+{{x}^{2}}$. Ta có $h'\left( x \right)=4f'\left( x \right)+2x$
Xét $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2f'\left( x \right)+x=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=-\dfrac{x}{2}$
Ta vẽ đồ thị hàm số $y=-\dfrac{x}{2}$ và thấy đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ và $y=-\dfrac{x}{2}$ cắt nhau tại các điểm có hoành độ $x=-2, x=0, x=4$.
Ta có bảng biến thiên sau
Từ bảng biến thiên ta thấy $h\left( x \right)=4f\left( x \right)+{{x}^{2}}<0$ khi $x\in \left( -2 ; 0 \right)$ và $x\in \left( 0 ; 4 \right)$
Khi $x\in \left( -2 ; 0 \right)$ thì $g\left( x \right)=-4f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2020\Rightarrow g'\left( x \right)=-4f\left( x \right)-2x=-h'\left( x \right)$. Mà $x\in \left( -2 ; 0 \right)$ thì $h'\left( x \right)>0$ $\Rightarrow g'\left( x \right)<0$. Do đó, $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -2 ; 0 \right)$
Khi $x\in \left( 0 ; 4 \right)$ thì $g\left( x \right)=-4f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2020\Rightarrow g'\left( x \right)=-4f\left( x \right)-2x=-h\left( x \right)$. Mà $x\in \left( 0 ; 4 \right)$ thì $h'\left( x \right)<0\Rightarrow g'\left( x \right)>0$. Do đó, $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; 4 \right)$.
Vậy chọn D.
Xét $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2f'\left( x \right)+x=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=-\dfrac{x}{2}$
Ta vẽ đồ thị hàm số $y=-\dfrac{x}{2}$ và thấy đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ và $y=-\dfrac{x}{2}$ cắt nhau tại các điểm có hoành độ $x=-2, x=0, x=4$.
Ta có bảng biến thiên sau
Từ bảng biến thiên ta thấy $h\left( x \right)=4f\left( x \right)+{{x}^{2}}<0$ khi $x\in \left( -2 ; 0 \right)$ và $x\in \left( 0 ; 4 \right)$
Khi $x\in \left( -2 ; 0 \right)$ thì $g\left( x \right)=-4f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2020\Rightarrow g'\left( x \right)=-4f\left( x \right)-2x=-h'\left( x \right)$. Mà $x\in \left( -2 ; 0 \right)$ thì $h'\left( x \right)>0$ $\Rightarrow g'\left( x \right)<0$. Do đó, $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -2 ; 0 \right)$
Khi $x\in \left( 0 ; 4 \right)$ thì $g\left( x \right)=-4f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2020\Rightarrow g'\left( x \right)=-4f\left( x \right)-2x=-h\left( x \right)$. Mà $x\in \left( 0 ; 4 \right)$ thì $h'\left( x \right)<0\Rightarrow g'\left( x \right)>0$. Do đó, $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; 4 \right)$.
Vậy chọn D.
Đáp án D.