Google
Câu hỏi: Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f\left( x \right)$, biết hàm số có ba điểm cực trị $x=-3,\!\!~\!\!x=3,~x=5$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m \right)$ có đúng $7$ điểm cực trị
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Ta có $g'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right){{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}.f'\left( {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 3{{x}^{2}}+6x \right){{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}.f'\left( {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0\!\!~\!\! \\
x=-2 \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=-3 \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=3 \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=5 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=-2 \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m-3,\!\!~\!\!\left( 1 \right) \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m+3,\!\!~\!\!\left( 2 \right) \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m+5,\!\!~\!\!\left( 3 \right) \\
\end{array} \right.$.
Hàm số $g\left( x \right)$ có $7$ điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm đơn và bội lẻ, khác $0$ và $-2$ của các phương trình $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ là $5$.
Xét hàm số $h\left( x \right)={{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}$ có $h'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right){{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}$.
Ta có $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=-2 \\
\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Khi đó có $3$ trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m+3\ge {{e}^{4}}\!\!~\!\! \\
1<m-3<{{e}^{4}} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge {{e}^{4}}-3\approx 51,6\!\!~\!\! \\
4<m<{{e}^{4}}+3\approx 57,6 \\
\end{array} \right.$
Do $m\!\!~\!\!$ nguyên nên $m\in \left\{ 52;~53;~54;~55;~56;~57 \right\}$.
Trường hợp 2:
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m+5\ge {{e}^{4}} \\
1<m+3<{{e}^{4}} \\
0<m-3\le 1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m>{{e}^{4}}-5\approx 49,6 \\
-2<m<{{e}^{4}}-3 \\
3<m\le 4 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $.
Trường hợp 3:
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
1<m+5<{{e}^{4}} \\
m+3\le 1\!\!~\!\! \\
m-3>0\!\!~\!\! \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-4<m<{{e}^{4}}-5\approx 49,6 \\
m\le -2 \\
m>3 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $.
Vậy có $6$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 3{{x}^{2}}+6x \right){{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}.f'\left( {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0\!\!~\!\! \\
x=-2 \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=-3 \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=3 \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=5 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=-2 \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m-3,\!\!~\!\!\left( 1 \right) \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m+3,\!\!~\!\!\left( 2 \right) \\
{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m+5,\!\!~\!\!\left( 3 \right) \\
\end{array} \right.$.
Hàm số $g\left( x \right)$ có $7$ điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm đơn và bội lẻ, khác $0$ và $-2$ của các phương trình $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ là $5$.
Xét hàm số $h\left( x \right)={{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}$ có $h'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right){{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}$.
Ta có $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=-2 \\
\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Khi đó có $3$ trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m+3\ge {{e}^{4}}\!\!~\!\! \\
1<m-3<{{e}^{4}} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge {{e}^{4}}-3\approx 51,6\!\!~\!\! \\
4<m<{{e}^{4}}+3\approx 57,6 \\
\end{array} \right.$
Do $m\!\!~\!\!$ nguyên nên $m\in \left\{ 52;~53;~54;~55;~56;~57 \right\}$.
Trường hợp 2:
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m+5\ge {{e}^{4}} \\
1<m+3<{{e}^{4}} \\
0<m-3\le 1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m>{{e}^{4}}-5\approx 49,6 \\
-2<m<{{e}^{4}}-3 \\
3<m\le 4 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $.
Trường hợp 3:
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
1<m+5<{{e}^{4}} \\
m+3\le 1\!\!~\!\! \\
m-3>0\!\!~\!\! \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-4<m<{{e}^{4}}-5\approx 49,6 \\
m\le -2 \\
m>3 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $.
Vậy có $6$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.