Google
Câu hỏi: Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f\left( x \right),$ biết hàm số có ba điểm cực trị $x=-3,x=3,x=5.$ Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m \right)$ có đúng 7 điểm cực trị.
A. 5.
B. 6.
C. 3.
D. 4.
A. 5.
B. 6.
C. 3.
D. 4.
Đặt $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=3 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right.$
$g'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right){{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}.f'\left( {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}+6x=0 \\
& f'\left( {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=-3 \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=3 \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m-3\left( 1 \right) \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m+3\left( 2 \right) \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m+5\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số
$g\left( x \right)={{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}$
$g'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right).{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số $g\left( x \right)$ có đúng 7 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ ba phương trình $\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)$ có 5 nghiệm phân biệt.
Xét các trường hợp sau:
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& m+5\ge {{e}^{4}} \\
& m-3\le 1 \\
& 1<m+3<{{e}^{4}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge {{e}^{4}}-5 \\
& m\le 4 \\
& -2<m<{{e}^{4}}-3 \\
\end{aligned} \right.$ (Vô lý)
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& 1<m-3<{{e}^{4}} \\
& m+3\ge {{e}^{4}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4<m<{{e}^{4}}+3 \\
& m\ge {{e}^{4}}-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{e}^{4}}-3\le m<{{e}^{4}}+3\Leftrightarrow 51,598\le m<57,598$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 52;53;54;55;56;57 \right\}$
$\Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.
& x=-3 \\
& x=3 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right.$
$g'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right){{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}.f'\left( {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}+6x=0 \\
& f'\left( {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=-3 \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=3 \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}-m=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m-3\left( 1 \right) \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m+3\left( 2 \right) \\
& {{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}=m+5\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số
$g\left( x \right)={{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}$
$g'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right).{{e}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}}$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số $g\left( x \right)$ có đúng 7 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ ba phương trình $\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)$ có 5 nghiệm phân biệt.
Xét các trường hợp sau:
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& m+5\ge {{e}^{4}} \\
& m-3\le 1 \\
& 1<m+3<{{e}^{4}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge {{e}^{4}}-5 \\
& m\le 4 \\
& -2<m<{{e}^{4}}-3 \\
\end{aligned} \right.$ (Vô lý)
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& 1<m-3<{{e}^{4}} \\
& m+3\ge {{e}^{4}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4<m<{{e}^{4}}+3 \\
& m\ge {{e}^{4}}-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{e}^{4}}-3\le m<{{e}^{4}}+3\Leftrightarrow 51,598\le m<57,598$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 52;53;54;55;56;57 \right\}$
$\Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án B.