Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f\left(x\right),$ biết hàm số có ba điểm cực trị $x=-3,x=3,x=5.$ Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số...

Đặt $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-3\\ & x=3\\ & x=5\end{array}$
$g^{\prime }\left(x\right)=(3x^2+6x)e^{x^3+3x^2}.f^{\prime }(e^{x^3+3x^2}-m)$
$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& 3x^2+6x=0\\ & f^{\prime }(e^{x^3+3x^2}-m)=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=-2\\ & e^{x^3+3x^2}-m=-3\\ & e^{x^3+3x^2}-m=3\\ & e^{x^3+3x^2}-m=5\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=-2\\ & e^{x^3+3x^2}=m-3\left(1\right)\\ & e^{x^3+3x^2}=m+3\left(2\right)\\ & e^{x^3+3x^2}=m+5\left(3\right)\end{array}$
Xét hàm số
$g\left(x\right)=e^{x^3+3x^2}$
$g^{\prime }\left(x\right)=(3x^2+6x).e^{x^3+3x^2}$
$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=-2\end{array}$

Hàm số $g\left(x\right)$ có đúng 7 điểm cực trị $\iff$ ba phương trình $\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)$ có 5 nghiệm phân biệt.
Xét các trường hợp sau:
TH1: $\{\begin{array}{rl}& m+5\ge e^4\\ & m-3\le 1\\ & 1<m+3<e^4\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m\ge e^4-5\\ & m\le 4\\ & -2<m<e^4-3\end{array}$ (Vô lý)
TH2: $\{\begin{array}{rl}& 1<m-3<e^4\\ & m+3\ge e^4\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 4<m<e^4+3\\ & m\ge e^4-3\end{array}\iff e^4-3\le m<e^4+3\iff 51,598\le m<57,598$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{52;53;54;55;56;57\}$
$\Rightarrow$ có 6 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.