Google
Câu hỏi: Cho hàm số đa thức bậc bậc bốn $f\left( x \right)$. Đồ thị hàm số $y={f}'\left( 3-2x \right)$ được cho như hình bên. Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $\left( -\infty ;0 \right)$.
B. $\left( 2;+\infty \right)$.
C. $\left( -1;0 \right)$.
D. $\left( 0;1 \right)$.
B. $\left( 2;+\infty \right)$.
C. $\left( -1;0 \right)$.
D. $\left( 0;1 \right)$.
Do $f\left( x \right)$ là hàm số đa thức bậc bốn, nên dựa vào đồ thị hàm số trên ta có:
${f}'\left( 3-2x \right)=a\left( x+1 \right)x\left( x-2 \right),\left( a<0 \right)$.
Đặt $3-2x=t\Rightarrow x=\dfrac{3-t}{2}\Rightarrow {f}'\left( t \right)=a\left( \dfrac{3-t}{2}+1 \right)\left( \dfrac{3-t}{2} \right)\left( \dfrac{3-t}{2}-2 \right)=\dfrac{a}{8}\left( 5-t \right)\left( 3-t \right)\left( -1-t \right)$.
Suy ra ${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\dfrac{a}{8}2x\left( 4-{{x}^{2}} \right)\left( 2-{{x}^{2}} \right)\left( -2-{{x}^{2}} \right)$, ${f}'\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm 2 \\
& x=\pm \sqrt{2} \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu chọn C
${f}'\left( 3-2x \right)=a\left( x+1 \right)x\left( x-2 \right),\left( a<0 \right)$.
Đặt $3-2x=t\Rightarrow x=\dfrac{3-t}{2}\Rightarrow {f}'\left( t \right)=a\left( \dfrac{3-t}{2}+1 \right)\left( \dfrac{3-t}{2} \right)\left( \dfrac{3-t}{2}-2 \right)=\dfrac{a}{8}\left( 5-t \right)\left( 3-t \right)\left( -1-t \right)$.
Suy ra ${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\dfrac{a}{8}2x\left( 4-{{x}^{2}} \right)\left( 2-{{x}^{2}} \right)\left( -2-{{x}^{2}} \right)$, ${f}'\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm 2 \\
& x=\pm \sqrt{2} \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu chọn C
Đáp án C.