Google
Câu hỏi: Cho hàm số
Có bao nhiêu giá trị của ${a}$ để hàm số liên tục tại ${x=1}$ ?
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 1.
Có bao nhiêu giá trị của ${a}$ để hàm số liên tục tại ${x=1}$ ?
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 1.
Ta có
$\begin{aligned}
& {{\lim }_{x\to 1}}f\left( x \right)={{\lim }_{x\to 1}}\dfrac{a{{x}^{2}}-\left( a-2 \right)x-2}{\sqrt{x+3}-2}={{\lim }_{x\to 1}}\dfrac{\left( ax+2 \right)\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}{\left( \sqrt{x+3}-2 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)} \\
& ={{\lim }_{x\to 1}}\dfrac{\left( ax+2 \right)\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}{x-1}={{\lim }_{x\to 1}}\left( ax+2 \right)\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)=4a+8 \\
\end{aligned}$
Và f(1) = 8 + a2.
Để hàm số liên tục tại x= 1 thì ${{\lim }_{x\to 1}}f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4a+8=8+{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=4 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có hai giá trị của a để hàm số liên tục tại x =1.
$\begin{aligned}
& {{\lim }_{x\to 1}}f\left( x \right)={{\lim }_{x\to 1}}\dfrac{a{{x}^{2}}-\left( a-2 \right)x-2}{\sqrt{x+3}-2}={{\lim }_{x\to 1}}\dfrac{\left( ax+2 \right)\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}{\left( \sqrt{x+3}-2 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)} \\
& ={{\lim }_{x\to 1}}\dfrac{\left( ax+2 \right)\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}{x-1}={{\lim }_{x\to 1}}\left( ax+2 \right)\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)=4a+8 \\
\end{aligned}$
Và f(1) = 8 + a2.
Để hàm số liên tục tại x= 1 thì ${{\lim }_{x\to 1}}f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4a+8=8+{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=4 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có hai giá trị của a để hàm số liên tục tại x =1.
Đáp án C.