Cho hàm số bậc năm $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $y={f}'\left( x...

Ta có ${g\prime (x)=\left(3 x^2+6 x\right) f\prime \left(x^3+3 x^2\right)-6 x^2-12 x}$
${g\prime (x)=0 \Leftrightarrow\left(3 x^2+6 x\right) f\prime \left(x^3+3 x^2\right)-6 x^2-12 x=0}$
${\Leftrightarrow 3\left(x^2+2 x\right) f\prime \left(x^3+3 x^2\right)-6\left(x^2+2 x\right)=0}$
${\Leftrightarrow\left(x^2+2 x\right)\left(3 f\prime \left(x^3+3 x^2\right)-6\right)=0}$
${\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\prime \left(x^3+3 x^2\right)=2 \\ x^2+2 x=0\end{array}\right.}$ Ta có ${x^2+2 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=-2\end{array}\right.}$
Dựa vào đồ thị ta được ${f\prime \left(x^3+3 x^2\right)=2 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^3+3 x^2=a(1) \\ x^3+3 x^2=b(2) \\ x^3+3 x^2=c(3) \\ x^3+3 x^2=d(4)\end{array}\right.}$ như hình dưới

Xét hàm số ${h(x)=x^3+3 x^2 \Rightarrow h\prime (x)=3 x^2+6 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow h(0)=0 \\ x=-2 \Rightarrow h(-2)=4\end{array}\right.}$
Dựa vào đồ thị ta thấy:
${a<0 \Rightarrow(1)}$ có một nghiệm
${0<b<4 \Rightarrow(2)}$ có ba nghiệm
${0<c<4 \Rightarrow(3)}$ có ba nghiệm
${4<d \Rightarrow(4)}$ có một nghiệm
Vậy ${g\prime (x)=0}$ có 10 nghiệm đơn nên hàm số có 10 điểm cực trị.