Cho hàm số bậc năm $f\left(x\right).$ Hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới. Hàm số $g\left( x...

Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=-2.f^{\prime }(7-2x)+2(x-1).$
Cho $g^{\prime }\left(x\right)=0\iff f^{\prime }(7-2x)=x-1.$
Đặt $t=7-2x\Rightarrow x-1={\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{t}{2}},$ ta được $f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{t}{2}}$ đây là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(t\right)$ và đường thẳng $y={\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{t}{2}}.$
Đặt $t=7-2x\Rightarrow x-1={\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{t}{2}},$ ta được $f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{t}{2}}$ đây là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai hàm số $y=f^{\prime }\left(t\right)$ và đường thẳng $y={\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{t}{2}}.$

Để hàm số $g\left(x\right)=f(7-2x)+{(x-1)}^2$ đồng biến thì $g^{\prime }\left(x\right)\ge 0\iff f^{\prime }\left(t\right)\le {\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{t}{2}}.$
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có $[\begin{array}{rl}& -3\le t\le -1\\ & 1\le t\le 3\end{array}$ hay $[\begin{array}{rl}& -3\le 7-2x\le -1\\ & 1\le 7-2x\le 3\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& 4\le x\le 5\\ & 2\le x\le 3\end{array}.$