Câu hỏi: Cho hàm số bậc năm $f\left( x \right).$ Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( 7-2x \right)+{{\left( x-1 \right)}^{2}}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -2;0 \right).$
B. $\left( -3;-1 \right).$
C. $\left( 3;+\infty \right).$
D. $\left( 2;3 \right).$
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( 7-2x \right)+{{\left( x-1 \right)}^{2}}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -2;0 \right).$
B. $\left( -3;-1 \right).$
C. $\left( 3;+\infty \right).$
D. $\left( 2;3 \right).$
Ta có $g'\left( x \right)=-2.f'\left( 7-2x \right)+2\left( x-1 \right).$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( 7-2x \right)=x-1.$
Đặt $t=7-2x\Rightarrow x-1=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2},$ ta được $f'\left( t \right)=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2}$ đây là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $y=f'\left( t \right)$ và đường thẳng $y=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2}.$
Đặt $t=7-2x\Rightarrow x-1=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2},$ ta được $f'\left( t \right)=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2}$ đây là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai hàm số $y=f'\left( t \right)$ và đường thẳng $y=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2}.$
Để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 7-2x \right)+{{\left( x-1 \right)}^{2}}$ đồng biến thì $g'\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow f'\left( t \right)\le \dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2}.$
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có $\left[ \begin{aligned}
& -3\le t\le -1 \\
& 1\le t\le 3 \\
\end{aligned} \right. $ hay $ \left[ \begin{aligned}
& -3\le 7-2x\le -1 \\
& 1\le 7-2x\le 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4\le x\le 5 \\
& 2\le x\le 3 \\
\end{aligned} \right..$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( 7-2x \right)=x-1.$
Đặt $t=7-2x\Rightarrow x-1=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2},$ ta được $f'\left( t \right)=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2}$ đây là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $y=f'\left( t \right)$ và đường thẳng $y=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2}.$
Đặt $t=7-2x\Rightarrow x-1=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2},$ ta được $f'\left( t \right)=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2}$ đây là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai hàm số $y=f'\left( t \right)$ và đường thẳng $y=\dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2}.$
Để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 7-2x \right)+{{\left( x-1 \right)}^{2}}$ đồng biến thì $g'\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow f'\left( t \right)\le \dfrac{5}{2}-\dfrac{t}{2}.$
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có $\left[ \begin{aligned}
& -3\le t\le -1 \\
& 1\le t\le 3 \\
\end{aligned} \right. $ hay $ \left[ \begin{aligned}
& -3\le 7-2x\le -1 \\
& 1\le 7-2x\le 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4\le x\le 5 \\
& 2\le x\le 3 \\
\end{aligned} \right..$
Đáp án D.