Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ và $f\left( 1 \right)=0.$ Biết hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( 1-\dfrac{x}{2} \right)-\dfrac{{{x}^{2}}}{8} \right|$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -\infty ;-4 \right).$
B. $\left( 4;+\infty \right).$
C. $\left( 2;4 \right).$
D. $\left( -3;-1 \right).$
A. $\left( -\infty ;-4 \right).$
B. $\left( 4;+\infty \right).$
C. $\left( 2;4 \right).$
D. $\left( -3;-1 \right).$
Xét hàm số $h(x)=f\left( 1-\dfrac{x}{2} \right)-\dfrac{{{x}^{2}}}{8}$
Ta có ${h}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}{f}'\left( 1-\dfrac{x}{2} \right)-\dfrac{x}{4}=0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\left( {f}'\left( 1-\dfrac{x}{2} \right)+\dfrac{x}{2} \right)=0$ $\left( 3 \right)$
Đặt $1-\dfrac{x}{2}=t\Rightarrow \dfrac{x}{2}=1-t$
Khi đó $\left( 3 \right)\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)-\left( t-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=1 \\
& t=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& x=0 \\
& x=-4 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số là
Dễ thấy ${h}'\left( 2 \right)=-\dfrac{1}{2}\left( {f}'\left( 0 \right)+1 \right)<0$
$h\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=0$
Từ đó ta có hàm số đồng biến trên $\left( 2;4 \right)$.
Ta có ${h}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}{f}'\left( 1-\dfrac{x}{2} \right)-\dfrac{x}{4}=0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\left( {f}'\left( 1-\dfrac{x}{2} \right)+\dfrac{x}{2} \right)=0$ $\left( 3 \right)$
Đặt $1-\dfrac{x}{2}=t\Rightarrow \dfrac{x}{2}=1-t$
Khi đó $\left( 3 \right)\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)-\left( t-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=1 \\
& t=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& x=0 \\
& x=-4 \\
\end{aligned} \right.$
$h\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=0$
Từ đó ta có hàm số đồng biến trên $\left( 2;4 \right)$.
Đáp án C.