Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ 0;20 \right]$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)=\left| \left| 2f\left( x \right)+m+4 \right|-f\left( x \right)-3 \right|$ trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$ không bé hơn $1$ ?
A. $18.$
B. $19.$
C. $20.$
D. $21.$
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ 0;20 \right]$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)=\left| \left| 2f\left( x \right)+m+4 \right|-f\left( x \right)-3 \right|$ trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$ không bé hơn $1$ ?
A. $18.$
B. $19.$
C. $20.$
D. $21.$
Quan sát đồ thị hình vẽ, ta thấy $-2\le f\left( x \right)\le 2,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$ $\Rightarrow 2f\left( x \right)+4\ge 0,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$.
Vì $m\in \left[ 0;20 \right]$ nên $2f\left( x \right)+m+4\ge 0,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$.
Suy ra $\left| 2f\left( x \right)+m+4 \right|=2f\left( x \right)+m+4$, $\forall x\in \left[ -2;2 \right]$.
Khi đó $g\left( x \right)=\left| 2f\left( x \right)+m+4-f\left( x \right)-3 \right|=\left| f\left( x \right)+m+1 \right|$, $\forall x\in \left[ -2;2 \right]$.
Với $m=0$ thì $g\left( x \right)=\left| f\left( x \right)+1 \right|,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$. Do $-2\le f\left( x \right)\le 2,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$
$\Rightarrow -1\le f\left( x \right)+1\le 3,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$ $\Rightarrow 0\le \left| f\left( x \right)+1 \right|\le 3,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$
$\Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=0$ (không thỏa mãn yêu cầu bài toán) $\Rightarrow m=0$ không là giá trị cần tìm.
Với $m\in \left[ 1;20 \right]$ ta có $m+1\in \left[ 2;21 \right]$ $\Rightarrow 0\le f\left( x \right)+m+1\le 23$ $\Rightarrow g\left( x \right)=f\left( x \right)+m+1$.
Từ $-2\le f\left( x \right)\le 2,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$, suy ra $f\left( x \right)+m+1\ge m+1-2=m-1$
$\Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=m-1$.
Yêu cầu bài toán: $\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)\ge 1$ $\Leftrightarrow m-1\ge 1$ $\Leftrightarrow m\ge 2.$ Suy ra $m\in \left[ 2;20 \right]$.
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 2;3;4;...;20 \right\}$. Vậy có tất cả $20-2+1=19$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vì $m\in \left[ 0;20 \right]$ nên $2f\left( x \right)+m+4\ge 0,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$.
Suy ra $\left| 2f\left( x \right)+m+4 \right|=2f\left( x \right)+m+4$, $\forall x\in \left[ -2;2 \right]$.
Khi đó $g\left( x \right)=\left| 2f\left( x \right)+m+4-f\left( x \right)-3 \right|=\left| f\left( x \right)+m+1 \right|$, $\forall x\in \left[ -2;2 \right]$.
Với $m=0$ thì $g\left( x \right)=\left| f\left( x \right)+1 \right|,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$. Do $-2\le f\left( x \right)\le 2,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$
$\Rightarrow -1\le f\left( x \right)+1\le 3,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$ $\Rightarrow 0\le \left| f\left( x \right)+1 \right|\le 3,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$
$\Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=0$ (không thỏa mãn yêu cầu bài toán) $\Rightarrow m=0$ không là giá trị cần tìm.
Với $m\in \left[ 1;20 \right]$ ta có $m+1\in \left[ 2;21 \right]$ $\Rightarrow 0\le f\left( x \right)+m+1\le 23$ $\Rightarrow g\left( x \right)=f\left( x \right)+m+1$.
Từ $-2\le f\left( x \right)\le 2,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$, suy ra $f\left( x \right)+m+1\ge m+1-2=m-1$
$\Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=m-1$.
Yêu cầu bài toán: $\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)\ge 1$ $\Leftrightarrow m-1\ge 1$ $\Leftrightarrow m\ge 2.$ Suy ra $m\in \left[ 2;20 \right]$.
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 2;3;4;...;20 \right\}$. Vậy có tất cả $20-2+1=19$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.