Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ...

${g}'\left( x \right)=\left( 6{{x}^{2}}+6x \right).{f}'\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)$ ;
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 6{{x}^{2}}+6x \right).{f}'\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
& {f}'\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$.
${f}'\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=a\left( 1 \right) \left( -2<a<-1 \right) \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=b\left( 2 \right) \left( -1<b<0 \right) \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=c\left( 3 \right) \left( 0<c<\dfrac{3}{4} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt $P\left( x \right)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$, ${P}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}+6x$.
Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta có:
PT (1) có nghiệm đơn ${{x}_{1}}$ khác 0 và $-1$.
PT (2) có nghiệm đơn ${{x}_{2}}$ khác 0, $-1$ và ${{x}_{1}}$.
PT (3) có 3 nghiệm đơn phân biệt khác 0, $-1$, ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$.
Suy ra phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 7 nghiệm đơn phân biệt .
Vậy hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)$ có 7 điểm cực trị.