Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ...

Ta có: ${g}'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right){f}'\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
3{{x}^{2}}+6x=0 \\
{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4=a \\
{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4=b \\
{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4=c \\
\end{matrix} \right.\begin{matrix}
, \\
\end{matrix}\begin{matrix}
a\in \left( -1,5;-1 \right) \\
b\in \left( -1;0 \right) \\
c\in \left( 0,5;+\infty \right) \\
\end{matrix}\left( 1 \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4$, $\Rightarrow h\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4$
Ta có: ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=-2 \\
\end{matrix} \right.$
BBT:
Từ bảng biến thiên của hàm số $h\left( x \right)$, ta thấy được $\left( 1 \right)$ có 9 nghiệm phân biệt nên hàm số $g\left( x \right)$ có 9 điểm cực trị.