Cho hàm số bậc bốn $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ...

Đặt $t=f^2\left(x\right)+x^2,(t\ge 0)$ ta có phương trình $t^2-(m^2+2m+14)t+4{(m+1)}^2+36=0\iff [\begin{array}{rl}& t=4\\ & t=m^2+2m+10\end{array}$
+ Với $t=4$ hay $f^2\left(x\right)+x^2=4\iff f^2\left(x\right)=4-x^2\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}$ (Do $f\left(x\right)\ge 0$ ).
Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}$ là số giao điểm của đường cong $y=f\left(x\right)$ và nửa đường tròn $C(O;2)$

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
+ Với $t=m^2+2m+10$ hay $f^2\left(x\right)+x^2=m^2+2m+10\iff f^2\left(x\right)=m^2+2m+10-x^2\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{m^2+2m+10-x^2}$ (Do $f\left(x\right)\ge 0$ ).
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường cong $y=f\left(x\right)$ và nửa đường tròn $C(O;\sqrt{m^2+2m+10})$

${(f^2\left(x\right)+x^2)}^2-(m^2+2m+14)(f^2\left(x\right)+x^2)+4{(m+1)}^2+36=0$ chỉ có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình $f\left(x\right)=\sqrt{m^2+2m+10-x^2}$ chỉ có 2 nghiệm phân biệt.Dựa vào đồ thị ta có điều kiện $m^2+2m+10>9\iff m^2+2m+1>0\iff m\ne -1.$ Vậy có 4042 giá trị của $m\in \lfloor -2021;2021\rfloor$.