Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2021;2021 \right]$ để phương trình ${{\left( {{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}} \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2m+14 \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}} \right)+4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+36=0$ có đúng 6 nghiệm phân biệt.
A. $2022$.
B. $4043$.
C. $4042$.
D. $2021$.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2021;2021 \right]$ để phương trình ${{\left( {{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}} \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2m+14 \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}} \right)+4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+36=0$ có đúng 6 nghiệm phân biệt.
A. $2022$.
B. $4043$.
C. $4042$.
D. $2021$.
Đặt $t={{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}},\ \left( t\ge 0 \right)\ $ ta có phương trình ${{t}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2m+14 \right)t+4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=4 \\
& t={{m}^{2}}+2m+10 \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $t=4$ hay ${{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}}=4\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)=4-{{x}^{2}}\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ (Do $f\left( x \right)\ge 0$ ).
Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ là số giao điểm của đường cong $y=f\left( x \right)$ và nửa đường tròn $C\left( O;2 \right)$
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
+ Với $t={{m}^{2}}+2m+10$ hay ${{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}}={{m}^{2}}+2m+10\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{m}^{2}}+2m+10-{{x}^{2}}\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt{{{m}^{2}}+2m+10-{{x}^{2}}}$ (Do $f\left( x \right)\ge 0$ ).
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường cong $y=f\left( x \right)$ và nửa đường tròn $C\left( O;\sqrt{{{m}^{2}}+2m+10} \right)$
${{\left( {{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}} \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2m+14 \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}} \right)+4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+36=0$ chỉ có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình $f\left( x \right)=\sqrt{{{m}^{2}}+2m+10-{{x}^{2}}}$ chỉ có 2 nghiệm phân biệt.Dựa vào đồ thị ta có điều kiện ${{m}^{2}}+2m+10>9\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1>0\Leftrightarrow m\ne -1.$ Vậy có 4042 giá trị của $m\in \left\lfloor -2021;2021 \right\rfloor $.
& t=4 \\
& t={{m}^{2}}+2m+10 \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $t=4$ hay ${{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}}=4\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)=4-{{x}^{2}}\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ (Do $f\left( x \right)\ge 0$ ).
Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ là số giao điểm của đường cong $y=f\left( x \right)$ và nửa đường tròn $C\left( O;2 \right)$
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
+ Với $t={{m}^{2}}+2m+10$ hay ${{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}}={{m}^{2}}+2m+10\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{m}^{2}}+2m+10-{{x}^{2}}\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt{{{m}^{2}}+2m+10-{{x}^{2}}}$ (Do $f\left( x \right)\ge 0$ ).
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường cong $y=f\left( x \right)$ và nửa đường tròn $C\left( O;\sqrt{{{m}^{2}}+2m+10} \right)$
${{\left( {{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}} \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2m+14 \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)+{{x}^{2}} \right)+4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+36=0$ chỉ có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình $f\left( x \right)=\sqrt{{{m}^{2}}+2m+10-{{x}^{2}}}$ chỉ có 2 nghiệm phân biệt.Dựa vào đồ thị ta có điều kiện ${{m}^{2}}+2m+10>9\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1>0\Leftrightarrow m\ne -1.$ Vậy có 4042 giá trị của $m\in \left\lfloor -2021;2021 \right\rfloor $.
Đáp án C.