Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$ như hình vẽ bên. Biết hàm số $y=f\left( x \right)$ đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn ${{x}_{3}}={{x}_{1}}+2,f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{3}} \right)+\dfrac{2}{3}f\left( {{x}_{2}} \right)=0$ và $\left( C \right)$ nhận đường thẳng $d:x={{x}_{2}}$ làm trục đối xứng. Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}},{{S}_{4}}$ là diện tích của các miền hình phẳng được đánh dấu như hình bên
Tỉ số $\dfrac{{{S}_{3}}+{{S}_{4}}}{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}$ gần kết quả nào nhất?
A. $1,62$
B. 1,64
C. 1,68
D. 1,66
Tỉ số $\dfrac{{{S}_{3}}+{{S}_{4}}}{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}$ gần kết quả nào nhất?
A. $1,62$
B. 1,64
C. 1,68
D. 1,66
Cách giải:
Sưu tầm Toanmath
Kết quả bài toán không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số sang bên trái sao cho đường thẳng $d:x={{x}_{2}}$ trùng với trục tung, khi đó đồ thị $\left( C \right)$ là đồ thị của hàm số trùng phương $y=g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị ${{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=0,{{x}_{3}}=1.$
Suy ra $y=g\left( x \right)=k\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right)+c\left( k>0 \right)$
Mặt khác $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{3}} \right)+\dfrac{2}{3}f\left( {{x}_{2}} \right)=0\Rightarrow -2k+2c+\dfrac{2}{3}c=0\Leftrightarrow c=\dfrac{3}{4}k.$
Suy ra $y=g\left( x \right)=k\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right)+\dfrac{3}{4}k.$
Khi đó: ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=k\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right|dx}=\dfrac{28\sqrt{2}-17}{60}k.$
Ta lại có $g\left( 0 \right)-g\left( 1 \right)=k\Rightarrow {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}=k.1=k.$
Suy ra ${{S}_{3}}+{{S}_{4}}=k-\dfrac{28\sqrt{2}-17}{60}k=\dfrac{77-28\sqrt{2}}{60}k.$
Vậy $\dfrac{{{S}_{3}}+{{S}_{4}}}{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{77-28\sqrt{2}}{60}k}{\dfrac{28\sqrt{2}-17}{60}k}\approx 1,66.$
Sưu tầm Toanmath
Kết quả bài toán không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số sang bên trái sao cho đường thẳng $d:x={{x}_{2}}$ trùng với trục tung, khi đó đồ thị $\left( C \right)$ là đồ thị của hàm số trùng phương $y=g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị ${{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=0,{{x}_{3}}=1.$
Suy ra $y=g\left( x \right)=k\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right)+c\left( k>0 \right)$
Mặt khác $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{3}} \right)+\dfrac{2}{3}f\left( {{x}_{2}} \right)=0\Rightarrow -2k+2c+\dfrac{2}{3}c=0\Leftrightarrow c=\dfrac{3}{4}k.$
Suy ra $y=g\left( x \right)=k\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right)+\dfrac{3}{4}k.$
Khi đó: ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=k\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right|dx}=\dfrac{28\sqrt{2}-17}{60}k.$
Ta lại có $g\left( 0 \right)-g\left( 1 \right)=k\Rightarrow {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}=k.1=k.$
Suy ra ${{S}_{3}}+{{S}_{4}}=k-\dfrac{28\sqrt{2}-17}{60}k=\dfrac{77-28\sqrt{2}}{60}k.$
Vậy $\dfrac{{{S}_{3}}+{{S}_{4}}}{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{77-28\sqrt{2}}{60}k}{\dfrac{28\sqrt{2}-17}{60}k}\approx 1,66.$
Đáp án D.