Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong (như hình vẽ bên dưới). Biết hàm số đạt cực trị tại ba điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai là 2. Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích phần gạch chéo, ${{S}_{2}}$ là diện tích phần tô đậm. Tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ bằng:
A. $\dfrac{4}{7}$
B. $\dfrac{8}{7}$
C. $\dfrac{7}{8}$
D. $\dfrac{7}{16}$
A. $\dfrac{4}{7}$
B. $\dfrac{8}{7}$
C. $\dfrac{7}{8}$
D. $\dfrac{7}{16}$
Tịnh tiến đồ thị sao cho ${{x}_{2}}$ trùng với gốc tọa độ ta được hình vẽ sau:
Ba điểm cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai là 2.
Suy ra: ${{x}_{1}}=-2;{{x}_{2}}=0;{{x}_{3}}=2.$
Gọi phương trình đồ thị trên có dạng $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( a\ne 0 \right).$
$y'=4a{{x}^{3}}+2bx$
Hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{1}}=-2;{{x}_{2}}=0;{{x}_{3}}=2$ nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& y'\left( {{x}_{1}} \right)=0 \\
& y'\left( {{x}_{2}} \right)=0 \\
& y'\left( {{x}_{3}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -32a-4b=0 \\
& c=0 \\
& 32a+4b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& 32a+4b=0 \\
\end{aligned} \right.. $ Chọn $ a=1;b=-8;c=0.$
Suy ra: $y={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}$
${{S}_{1}}=\int\limits_{-2}^{0}{\left( -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}} \right)}=\dfrac{124}{15}.$ ${{S}_{2}}=2\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+16 \right)}=\dfrac{512}{15}.$
Tỷ số: $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{224}{15}}{\dfrac{512}{15}}=\dfrac{7}{16}.$
Ba điểm cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai là 2.
Suy ra: ${{x}_{1}}=-2;{{x}_{2}}=0;{{x}_{3}}=2.$
Gọi phương trình đồ thị trên có dạng $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( a\ne 0 \right).$
$y'=4a{{x}^{3}}+2bx$
Hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{1}}=-2;{{x}_{2}}=0;{{x}_{3}}=2$ nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& y'\left( {{x}_{1}} \right)=0 \\
& y'\left( {{x}_{2}} \right)=0 \\
& y'\left( {{x}_{3}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -32a-4b=0 \\
& c=0 \\
& 32a+4b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& 32a+4b=0 \\
\end{aligned} \right.. $ Chọn $ a=1;b=-8;c=0.$
Suy ra: $y={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}$
${{S}_{1}}=\int\limits_{-2}^{0}{\left( -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}} \right)}=\dfrac{124}{15}.$ ${{S}_{2}}=2\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+16 \right)}=\dfrac{512}{15}.$
Tỷ số: $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{224}{15}}{\dfrac{512}{15}}=\dfrac{7}{16}.$
Đáp án D.