Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y=f\!\!'\!\!\left( x \right)$ như hình bên dưới. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left[ 1;2020 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m \right)$ có đúng $3$ điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của $S$ là
A. $2041200$.
B. $2041204$.
C. $2041195$.
D. $2041207$.
A. $2041200$.
B. $2041204$.
C. $2041195$.
D. $2041207$.
Ta có $g'\left( x \right)=\left( 4{{x}^{3}}-4x \right)f'\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m \right)$ ; $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
4{{x}^{3}}-4x=0\!\!~\!\!\left( 1 \right) \\
f'\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m \right)\!\!~\!\!=\!\!~\!\!0\!\!~\!\!\left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1 \\
x=-1 \\
x=0 \\
\end{array} \right.$.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m=-2 \\
{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m=-1 \\
{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m=3 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
-m={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2={{g}_{1}}\left( x \right) \\
-m={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1={{g}_{2}}\left( x \right) \\
-m={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3={{g}_{3}}\left( x \right) \\
\end{array} \right.$.
Ta có bảng biến thiên của các hàm số ${{g}_{1}}\left( x \right),{{g}_{2}}\left( x \right),{{g}_{3}}\left( x \right)$ như hình vẽ:
Từ bảng biến trên, ta dễ thấy: với $-m\le -4\Leftrightarrow m\ge 4$ hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m \right)$ có đúng 3 điểm cực trị.
Do đó: $S=\left\{ 4;5;6;7;..;2020 \right\}$
Vậy tổng tất cả các phần tử của $S$ là $4+5+6+..+2020=\dfrac{\left( 4+2020 \right)2017}{2}=2041204$.
4{{x}^{3}}-4x=0\!\!~\!\!\left( 1 \right) \\
f'\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m \right)\!\!~\!\!=\!\!~\!\!0\!\!~\!\!\left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1 \\
x=-1 \\
x=0 \\
\end{array} \right.$.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m=-2 \\
{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m=-1 \\
{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m=3 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
-m={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2={{g}_{1}}\left( x \right) \\
-m={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1={{g}_{2}}\left( x \right) \\
-m={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3={{g}_{3}}\left( x \right) \\
\end{array} \right.$.
Ta có bảng biến thiên của các hàm số ${{g}_{1}}\left( x \right),{{g}_{2}}\left( x \right),{{g}_{3}}\left( x \right)$ như hình vẽ:
Từ bảng biến trên, ta dễ thấy: với $-m\le -4\Leftrightarrow m\ge 4$ hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m \right)$ có đúng 3 điểm cực trị.
Do đó: $S=\left\{ 4;5;6;7;..;2020 \right\}$
Vậy tổng tất cả các phần tử của $S$ là $4+5+6+..+2020=\dfrac{\left( 4+2020 \right)2017}{2}=2041204$.
Đáp án B.