Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị (C1) và hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị (C2) như hình vẽ bên.
Số điểm cực đại của đồ thị hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{e}^{-x}}.f\left( x \right) \right)$ trên khoảng $\left( -\infty ;3 \right)$ là
A. $5$
B. $3$
C. $6$
D. $4$
Số điểm cực đại của đồ thị hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{e}^{-x}}.f\left( x \right) \right)$ trên khoảng $\left( -\infty ;3 \right)$ là
A. $5$
B. $3$
C. $6$
D. $4$
Ta có $g\left( x \right)=f\left( {{e}^{-x}}.f\left( x \right) \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( {{e}^{-x}}.f\left( x \right) \right){{\left( {{e}^{-x}}.f\left( x \right) \right)}^{'}}$ $\Leftrightarrow g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=f'\left( x \right) \\
& f'\left( {{e}^{-x}}.f\left( x \right) \right)=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=f'\left( x \right) \\
& {{e}^{-x}}.f\left( x \right)=0 \\
& {{e}^{-x}}.f\left( x \right)=-2 \\
& {{e}^{-x}}.f\left( x \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
+ $f\left( x \right)=f'\left( x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $ (giả sử $ {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ )
+ Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right).{{e}^{-x}}$, ta có $h'\left( x \right)={{e}^{-x}}.\left( f'\left( x \right)-f\left( x \right) \right)$
$h'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)=f'\left( x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên:
$h\left( 3 \right)=f\left( 3 \right).{{e}^{-3}}<4.{{e}^{-3}}\Rightarrow h\left( 3 \right)<1$
$-4<f\left( {{x}_{2}} \right)<-2,$ $1<{{x}_{2}}<2$ $\Rightarrow h\left( {{x}_{2}} \right)={{e}^{-{{x}_{2}}}}.f\left( {{x}_{2}} \right)>-4.{{e}^{-1}}\Rightarrow h\left( {{x}_{2}} \right)>-2$
$-4<f\left( {{x}_{1}} \right)<-2,$ ${{x}_{1}}<-2$ $\Rightarrow h\left( {{x}_{1}} \right)={{e}^{-{{x}_{1}}}}.f\left( {{x}_{1}} \right)<-2.{{e}^{2}}<-2\Rightarrow h\left( {{x}_{1}} \right)<-2$
Từ bảng biến thiên ta có trên khoảng $\left( -\infty ;3 \right)$ phương trình $f\left( x \right).{{e}^{-x}}=0$ có 3 nghiệm phân biệt
( trong đó có nghiệm kép $x=0$ ), phương trình $f\left( x \right).{{e}^{-x}}=2$ có 1 nghiệm, phương trình $f\left( x \right).{{e}^{-x}}=2$ có 2 nghiệm phận biệt.
Vậy phương trình $g'\left( x \right)=0$ có 8 nghiệm phân biệt ( không có nghiệm bội chẵn).
Vậy hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{e}^{-x}}.f\left( x \right) \right)$ có 4 điểm cực đại.
& f\left( x \right)=f'\left( x \right) \\
& f'\left( {{e}^{-x}}.f\left( x \right) \right)=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=f'\left( x \right) \\
& {{e}^{-x}}.f\left( x \right)=0 \\
& {{e}^{-x}}.f\left( x \right)=-2 \\
& {{e}^{-x}}.f\left( x \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
+ $f\left( x \right)=f'\left( x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $ (giả sử $ {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ )
+ Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right).{{e}^{-x}}$, ta có $h'\left( x \right)={{e}^{-x}}.\left( f'\left( x \right)-f\left( x \right) \right)$
$h'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)=f'\left( x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên:
$h\left( 3 \right)=f\left( 3 \right).{{e}^{-3}}<4.{{e}^{-3}}\Rightarrow h\left( 3 \right)<1$
$-4<f\left( {{x}_{2}} \right)<-2,$ $1<{{x}_{2}}<2$ $\Rightarrow h\left( {{x}_{2}} \right)={{e}^{-{{x}_{2}}}}.f\left( {{x}_{2}} \right)>-4.{{e}^{-1}}\Rightarrow h\left( {{x}_{2}} \right)>-2$
$-4<f\left( {{x}_{1}} \right)<-2,$ ${{x}_{1}}<-2$ $\Rightarrow h\left( {{x}_{1}} \right)={{e}^{-{{x}_{1}}}}.f\left( {{x}_{1}} \right)<-2.{{e}^{2}}<-2\Rightarrow h\left( {{x}_{1}} \right)<-2$
Từ bảng biến thiên ta có trên khoảng $\left( -\infty ;3 \right)$ phương trình $f\left( x \right).{{e}^{-x}}=0$ có 3 nghiệm phân biệt
( trong đó có nghiệm kép $x=0$ ), phương trình $f\left( x \right).{{e}^{-x}}=2$ có 1 nghiệm, phương trình $f\left( x \right).{{e}^{-x}}=2$ có 2 nghiệm phận biệt.
Vậy phương trình $g'\left( x \right)=0$ có 8 nghiệm phân biệt ( không có nghiệm bội chẵn).
Vậy hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{e}^{-x}}.f\left( x \right) \right)$ có 4 điểm cực đại.
Đáp án D.