Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $y=f\left(x\right)$. Biết rằng hàm số $g\left( x \right)=\ln f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình sau
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 5;6 \right)$.
B. $\left( 4;5 \right)$.
C. $\left( 2;3 \right)$.
D. $\left( 3;4 \right)$.
A. $\left( 5;6 \right)$.
B. $\left( 4;5 \right)$.
C. $\left( 2;3 \right)$.
D. $\left( 3;4 \right)$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)=\ln f\left( x \right)$, ta có: $\ln f\left( x \right)\ge \ln 2\Rightarrow f\left( x \right)\ge 2$.
$g\left( x \right)=\ln f\left( x \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ là:
${f}'\left( x \right)={g}'\left( x \right)$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0$ hay $f\left( x \right)=1$ (vô nghiệm do $f\left( x \right)\ge 2$ ).
$\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
& x={{x}_{3}} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó, ta có diện tích cần tìm là: $S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|dx}$
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|dx}+\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|dx}$ $=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left[ {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right]dx} \right|+\left| \int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left[ {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right]dx} \right|$
$=\left| \left. \left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right] \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|+\left| \left. \left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right] \right|_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}} \right|$
$=\left| f\left( {{x}_{2}} \right)-g\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)+g\left( {{x}_{1}} \right) \right|+\left| f\left( {{x}_{3}} \right)-g\left( {{x}_{3}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)+g\left( {{x}_{2}} \right) \right|$
$=\left| 6-\ln 6-\dfrac{43}{8}+\ln \dfrac{43}{8} \right|+\left| 2-\ln 2-6+\ln 6 \right|$ $=\left| \dfrac{5}{8}+\ln \dfrac{43}{48} \right|+\left| \ln 3-4 \right|$ $=\dfrac{5}{8}+\ln \dfrac{43}{48}+4-\ln 3$
$=\dfrac{37}{8}+\ln \dfrac{43}{144}\approx 3,416$.
$g\left( x \right)=\ln f\left( x \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ là:
${f}'\left( x \right)={g}'\left( x \right)$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0$ hay $f\left( x \right)=1$ (vô nghiệm do $f\left( x \right)\ge 2$ ).
$\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
& x={{x}_{3}} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó, ta có diện tích cần tìm là: $S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|dx}$
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|dx}+\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|dx}$ $=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left[ {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right]dx} \right|+\left| \int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left[ {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right]dx} \right|$
$=\left| \left. \left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right] \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|+\left| \left. \left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right] \right|_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}} \right|$
$=\left| f\left( {{x}_{2}} \right)-g\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)+g\left( {{x}_{1}} \right) \right|+\left| f\left( {{x}_{3}} \right)-g\left( {{x}_{3}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)+g\left( {{x}_{2}} \right) \right|$
$=\left| 6-\ln 6-\dfrac{43}{8}+\ln \dfrac{43}{8} \right|+\left| 2-\ln 2-6+\ln 6 \right|$ $=\left| \dfrac{5}{8}+\ln \dfrac{43}{48} \right|+\left| \ln 3-4 \right|$ $=\dfrac{5}{8}+\ln \dfrac{43}{48}+4-\ln 3$
$=\dfrac{37}{8}+\ln \dfrac{43}{144}\approx 3,416$.
Đáp án D.