Cho hàm số bậc bốn trùng phương, $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau: Số điểm cực trị của hàm số $y=\dfrac{1}{{{x}^{4}}}{{\left[...

Phương pháp:
- Tính $y',$ sử dụng quy tắc tính đạo hàm một tích.
- Sử dụng tương giao, phương pháp lấy nguyên hàm hai vế xác định số nghiệm bội lẻ của phương trình $y'=0$ và suy ra số điểm cực trị của hàm số.
Cách giải:
ĐKXĐ: $x\ne 0.$
Ta có
$y=\dfrac{1}{{{x}^{4}}}{{\left[ f\left( x \right)-1 \right]}^{4}}$
$\Rightarrow y'=\dfrac{-4}{{{x}^{5}}}{{\left[ f\left( x \right)-1 \right]}^{4}}+\dfrac{1}{{{x}^{4}}}.4{{\left[ f\left( x \right)-1 \right]}^{3}}f'\left( x \right)$
$\Rightarrow y'=\dfrac{4}{{{x}^{5}}}{{\left[ f\left( x \right)-1 \right]}^{3}}\left[ -f\left( x \right)+1+x.f'\left( x \right) \right]$
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=1\text{ }\left( 1 \right) \\
& x.f'\left( x \right)-f\left( x \right)+1=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào BBT ta thấy phương trình $\left( 1 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt trong đó $x=0$ là nghiệm bội chẵn.
Xét phương trình $\left( 2 \right):x.f'\left( x \right)-f\left( x \right)+1=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right).x-f\left( x \right).x'}{{{x}^{2}}}=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]'=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta có $\dfrac{f\left( x \right)}{x}=\int\limits_{{}}^{{}}{-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}dx}=\dfrac{1}{x}+C.$
Dựa vào BBT ta thấy $f\left( 1 \right)=-1$ nên $\dfrac{-1}{1}=\dfrac{1}{1}+C\Leftrightarrow C=-2,$ do đó $f\left( x \right)=1-2x\left( * \right).$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (*) có 4 nghiệm phân biệt trong đó $x=0$ không thỏa mãn.
Tóm lại, phương trình $y'=0$ có 4 nghiệm bội lẻ phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.