Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $f\left( x \right)$ có $f\left( 0 \right)=1$ và hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị trong hình bên.
Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( {{x}^{4}} \right)+x-1 \right|$
A. $7$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $5$.
A. $7$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $5$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{4}} \right)+x-1\Rightarrow {g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}{f}'\left( {{x}^{4}} \right)+1$
Ta có ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}{f}'\left( {{x}^{4}} \right)=-1$, do $x=0$ không là nghiệm của phương trình nên
$4{{x}^{3}}{f}'\left( {{x}^{4}} \right)=-1\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{4}} \right)=\dfrac{-1}{4{{x}^{3}}}$. Do ${f}'\left( {{x}^{4}} \right)>0,\forall x\ne 0$ nên phương trình ${f}'\left( {{x}^{4}} \right)=\dfrac{-1}{4{{x}^{3}}}$ chỉ có thể có nghiệm thuộc $\left( -\infty ;0 \right)$.
Đặt $t={{x}^{4}}\Leftrightarrow -{{t}^{\dfrac{3}{4}}}={{x}^{3}}$, khi đó ${f}'\left( {{x}^{4}} \right)=\dfrac{-1}{4{{x}^{3}}}\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{4}{{t}^{\dfrac{-3}{4}}}$ với $t>0$
Xét hàm số $h\left( t \right)=\dfrac{1}{4}{{t}^{\dfrac{-3}{4}}},\forall t>0$
Ta có $h\left( t \right)$ là một hàm lũy thừa với mũ âm không nguyên, nên hàm số $h\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right)$. Kết hợp với đồ thị hàm số ${f}'\left( t \right)$ ta thấy được phương trình ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{4}{{t}^{\dfrac{-3}{4}}}$ có một nghiệm $t=a\left( a>0 \right)\Rightarrow x=-\sqrt[4]{a}$. Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ là:
Từ bảng biến thiên ta thấy được $g\left( -\sqrt[4]{a} \right)<g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-1=0$ nên phương trình $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| f\left( {{x}^{4}} \right)+x-1 \right|$ có ba điểm cực trị.
Ta có ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}{f}'\left( {{x}^{4}} \right)=-1$, do $x=0$ không là nghiệm của phương trình nên
$4{{x}^{3}}{f}'\left( {{x}^{4}} \right)=-1\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{4}} \right)=\dfrac{-1}{4{{x}^{3}}}$. Do ${f}'\left( {{x}^{4}} \right)>0,\forall x\ne 0$ nên phương trình ${f}'\left( {{x}^{4}} \right)=\dfrac{-1}{4{{x}^{3}}}$ chỉ có thể có nghiệm thuộc $\left( -\infty ;0 \right)$.
Đặt $t={{x}^{4}}\Leftrightarrow -{{t}^{\dfrac{3}{4}}}={{x}^{3}}$, khi đó ${f}'\left( {{x}^{4}} \right)=\dfrac{-1}{4{{x}^{3}}}\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{4}{{t}^{\dfrac{-3}{4}}}$ với $t>0$
Xét hàm số $h\left( t \right)=\dfrac{1}{4}{{t}^{\dfrac{-3}{4}}},\forall t>0$
Ta có $h\left( t \right)$ là một hàm lũy thừa với mũ âm không nguyên, nên hàm số $h\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right)$. Kết hợp với đồ thị hàm số ${f}'\left( t \right)$ ta thấy được phương trình ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{4}{{t}^{\dfrac{-3}{4}}}$ có một nghiệm $t=a\left( a>0 \right)\Rightarrow x=-\sqrt[4]{a}$. Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ là:
Đáp án B.